Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme de tri est stable ?

  1. ATri fusion
  2. BTri par tas
  3. CTri rapide (version en place habituelle)
  4. DTri par sélection (version habituelle)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème du sac à dos 0/1 résolu par programmation dynamique prend un temps O(nW). Pourquoi dit-on qu'il est pseudo-polynomial ?

  1. AParce que l'algorithme est probabiliste et que son temps d'exécution varie à chaque entrée
  2. BW est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
  3. CParce que n est toujours petit
  4. DParce qu'il ne fonctionne que pour W = 0
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle condition d'équilibre un arbre AVL maintient-il en chaque nœud ?

  1. ALes deux sous-arbres de chaque nœud contiennent exactement le même nombre de nœuds
  2. BLes hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
  3. CChaque nœud est colorié en rouge ou en noir
  4. DToutes les feuilles sont exactement à la même profondeur
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le principal avantage d'une liste à enjambements (skip list) par rapport à une liste chaînée triée ?

  1. AUne recherche en O(1) garantie, car chaque nœud stocke un pointeur vers tous les autres nœuds
  2. BElle stocke les clés sans ordre
  3. CUne recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
  4. DElle n'utilise aucune mémoire supplémentaire
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
3114811559ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Tri fusion

Pourquoi c'est la réponse

Le tri fusion est stable si, en cas d'égalité, la fusion prend d'abord dans la moitié gauche. Le tri rapide en place, le tri par tas et le tri par sélection ne sont généralement pas stables.

Réponse

A · Tri fusion
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

Pourquoi c'est la réponse

Le temps d'exécution est polynomial en la valeur de W mais exponentiel en sa longueur (log W bits) ; le sac à dos 0/1 est NP-complet.

Réponse

B · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
3.Structures de données

Réponse: B · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1

Pourquoi c'est la réponse

Le facteur d'équilibre (hauteur gauche − hauteur droite) doit valoir −1, 0 ou 1 ; des rotations le rétablissent après les insertions et les suppressions.

Réponse

B · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
4.Structures de données

Réponse: C · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant

Pourquoi c'est la réponse

Des niveaux aléatoires permettent aux recherches de sauter de nombreux nœuds, ce qui donne en moyenne O(log n) pour la recherche, l'insertion et la suppression.

Réponse

C · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Sommets impairs

A, C → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: E

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 3, C: 11
2. B (3): C: 7, D: 11, E: 12
3. C (7): E: 8
4. E (8): F: 13
5. D (11)
6. F (13)

tour 4

E

Réponse

E

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