Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Comment l'algorithme de Prim construit-il un arbre couvrant de poids minimal ?

  1. AIl supprime l'arête la plus chère jusqu'à ce qu'il ne reste plus de cycle
  2. BIl exécute un parcours en largeur et conserve l'arbre du BFS
  3. CIl trie toutes les arêtes par poids et ajoute chacune d'elles sauf si elle formait un cycle dans la forêt
  4. DIl fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
2.Algorithmes et complexitéDifficile

D'après le théorème maître, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) a pour solution :

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Un tampon circulaire (ring buffer) est couramment utilisé pour implémenter :

  1. AUn parcours de graphe
  2. BUne file de taille fixe
  3. CUne fonction de hachage
  4. DUn arbre binaire de recherche
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de Fenwick (binary indexed tree) sur un tableau de n nombres permet quelles opérations en O(log n) ?

  1. ALe tri du tableau et la recherche dichotomique
  2. BL'insertion d'éléments à n'importe quelle position
  3. CLa recherche de la médiane en O(1)
  4. DLes requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
15561413572ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Prim, avec une file de priorité des arêtes sortantes, s'exécute en O(E log V) avec un tas binaire.

Réponse

D · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Θ(n³)

Pourquoi c'est la réponse

log₂ 8 = 3, et n² croît plus lentement que n³, donc les feuilles dominent : Θ(n³).

Réponse

B · Θ(n³)
3.Structures de données

Réponse: B · Une file de taille fixe

Pourquoi c'est la réponse

Un tampon circulaire utilise des indices de tête et de queue qui reviennent au début, ce qui permet enqueue et dequeue en O(1) dans une mémoire fixe.

Réponse

B · Une file de taille fixe
4.Structures de données

Réponse: D · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de Fenwick stocke des sommes partielles sur des intervalles déterminés par les bits de poids faible de chaque indice, donc les sommes préfixes comme les mises à jour ponctuelles prennent O(log n).

Réponse

D · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

B, C → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 20

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 15, C: 5
C (5): B: 11, E: 18
B (11): D: 25, E: 13
E (13): D: 18, F: 20
D (18)
F (20)

Plus court chemin

A → C → B → E → F
d(F) = 20

Réponse

d(F) = 20

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