Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Combien de niveaux comporte la récursion du tri fusion pour un tableau de n éléments ?

  1. AEnviron √n
  2. BEnviron n
  3. CEnviron n / 2
  4. DEnviron log₂ n
2.Algorithmes et complexitéDifficile

La multiplication de Karatsuba vérifie T(n) = 3T(n/2) + O(n). Quelle en est la solution ?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
3.Structures de donnéesMoyen

Comment insère-t-on un nouvel élément dans un tas binaire ?

  1. AOn l'insère à sa position triée en décalant d'un cran vers la droite tous les éléments plus grands
  2. BOn le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
  3. COn le place à la racine et on le fait descendre
  4. DOn reconstruit entièrement le tas
4.Structures de donnéesDifficile

Combien de temps faut-il pour rechercher une clé quelconque dans un tas binaire min de n éléments ?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 14 sommets et 16 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 14|E| = 16
k =
6.Théorie des graphesDifficile
1718157165201ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Environ log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Passer de n à 1 par divisions successives par deux prend environ log₂ n niveaux, et chaque niveau effectue un travail de fusion en O(n), d'où O(n log n).

Réponse

D · Environ log₂ n
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585

Pourquoi c'est la réponse

Comme log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, les feuilles dominent d'après le théorème maître, ce qui bat la méthode scolaire en O(n²).

Réponse

D · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
3.Structures de données

Réponse: B · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

Pourquoi c'est la réponse

L'ajout à la fin maintient l'arbre complet ; les échanges avec le parent rétablissent l'ordre en O(log n) étapes.

Réponse

B · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de données

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Un tas ne donne aucune règle sur le sous-arbre qui contient une clé, donc dans le pire cas tous les nœuds doivent être examinés ; seul le minimum se trouve rapidement.

Réponse

D · O(n)
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

14 − 1 = 13

Arêtes à retirer

k = 16 − 13 = 3

Réponse

k = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 45

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BE (1): prise
DF (5): prise
CE (7): prise
BD (15): prise
DE (16): sautée, ferme un cycle
AB (17): prise

Poids total

W = 1 + 5 + 7 + 15 + 17 = 45

Réponse

W = 45

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