Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La récurrence T(n) = 2T(n/2) + O(n) a pour solution :

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour (j = i ; j ≤ n ; j = j + i) faire un travail O(1) ?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
3.Structures de donnéesMoyen

Pourquoi le parcours d'un tableau est-il souvent bien plus rapide en pratique que celui d'une liste chaînée de même longueur ?

  1. ALes tableaux utilisent moins d'instructions pour comparer les valeurs
  2. BLe parcours d'un tableau est en O(1) au total, alors que celui d'une liste chaînée est en O(n)
  3. CLes éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur
  4. DLes listes chaînées stockent toujours leurs éléments sur disque
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de Fenwick (binary indexed tree) sur un tableau de n nombres permet quelles opérations en O(log n) ?

  1. ALe tri du tableau et la recherche dichotomique
  2. BLa recherche de la médiane en O(1)
  3. CL'insertion d'éléments à n'importe quelle position
  4. DLes requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 9 sommets et 18 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 9|E| = 18
k =
6.Théorie des graphesDifficile
571412537ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

D'après le théorème maître (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Réponse

A · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le total vaut n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, et le nombre harmonique Hn est Θ(log n).

Réponse

D · O(n log n)
3.Structures de données

Réponse: C · Les éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur

Pourquoi c'est la réponse

La mémoire contiguë offre une bonne localité des références, alors que des nœuds chaînés peuvent être dispersés et provoquer de nombreux défauts de cache.

Réponse

C · Les éléments d'un tableau sont contigus, ce qui exploite bien le cache du processeur
4.Structures de données

Réponse: D · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de Fenwick stocke des sommes partielles sur des intervalles déterminés par les bits de poids faible de chaque indice, donc les sommes préfixes comme les mises à jour ponctuelles prennent O(log n).

Réponse

D · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

9 − 1 = 8

Arêtes à retirer

k = 18 − 8 = 10

Réponse

k = 10
6.Théorie des graphes

Réponse: E

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): C: 5
2. C (5): B: 12, E: 6
3. E (6): D: 8, F: 9
4. D (8)
5. F (9)
6. B (12)

tour 3

E

Réponse

E

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