Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

  1. ALogarithmique
  2. BLinéaire
  3. CConstante
  4. DExponentielle
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment l'algorithme de Bellman-Ford détecte-t-il un cycle de poids négatif accessible depuis la source ?

  1. AIl compte les cycles par un parcours en profondeur
  2. BIl vérifie si une arête a un poids négatif
  3. CIl exécute deux fois l'algorithme de Dijkstra et compare les deux résultats de distances
  4. DAprès V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
3.Structures de donnéesMoyen

Vous avez une référence vers un nœud au milieu d'une liste. Dans quelle liste pouvez-vous le supprimer en O(1) ?

  1. AUn tableau dynamique
  2. BUn tableau trié
  3. CUne liste doublement chaînée
  4. DUne liste simplement chaînée
4.Structures de donnéesDifficile

Vous devez conserver les k plus petites valeurs d'un flux de n nombres en utilisant O(k) mémoire. Quelle approche fonctionne en O(n log k) ?

  1. AUn tas min contenant les n valeurs, dont on extrait les k plus petites à la fin
  2. BUn tableau trié de toutes les n valeurs
  3. CUne file FIFO des k dernières valeurs
  4. DUn tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
5111191034121123ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

D · Exponentielle
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les vraies distances minimales sont trouvées en V − 1 tours ; si une arête peut encore être améliorée, un cycle négatif existe forcément.

Réponse

D · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
3.Structures de données

Réponse: C · Une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

Un nœud doublement chaîné connaît son prédécesseur, on peut donc relier directement prev et next ; une liste simplement chaînée doit rechercher le prédécesseur.

Réponse

C · Une liste doublement chaînée
4.Structures de données

Réponse: D · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive

Pourquoi c'est la réponse

La racine du tas max est la plus grande valeur conservée ; toute nouvelle valeur plus petite la remplace en O(log k), donc le tas contient toujours les k plus petites valeurs vues jusqu'ici.

Réponse

D · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Sommets impairs

B, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 19

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 5, C: 11
B (5): D: 16, G: 17
C (11): E: 20, G: 12
G (12): E: 15
E (15): F: 19
D (16)
F (19)

Plus court chemin

A → C → G → E → F
d(F) = 19

Réponse

d(F) = 19

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