Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que mesure l'analyse amortie ?

  1. ALe coût d'un algorithme sur la meilleure entrée
  2. BLe coût de l'unique opération la plus chère, où qu'elle se trouve dans la suite
  3. CLe coût espéré sur des entrées aléatoires
  4. DLe coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Prendre les deux extrémités de chaque arête d'un couplage maximal donne une couverture par sommets. Quelle est la qualité de cette couverture ?

  1. AAu plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
  2. BAu plus log n fois le minimum
  3. CDe qualité inconnue par rapport à l'optimum
  4. DToujours une couverture par sommets minimale
3.Structures de donnéesMoyen

Comment trouve-t-on la clé minimale dans un arbre binaire de recherche ?

  1. AOn regarde uniquement la racine
  2. BOn visite toutes les feuilles et on les compare
  3. COn suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
  4. DOn suit les enfants droits depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
4.Structures de donnéesDifficile

Un nœud AVL est déséquilibré parce que le sous-arbre droit de son enfant gauche est devenu trop haut (cas gauche-droite). Quelle correction applique-t-on ?

  1. AUne rotation à droite sur l'enfant gauche, puis une rotation à gauche sur le nœud
  2. BUne rotation simple à droite sur le nœud
  3. CUne rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
  4. DUne rotation simple à gauche sur le nœud
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K5 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K5
H =
6.Théorie des graphesDifficile
113681116127ABCDEF

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet F. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 5.

départ : Fk = 5
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête DE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

Pourquoi c'est la réponse

L'analyse amortie répartit le coût des opérations rares et coûteuses sur de nombreuses opérations bon marché, ce qui donne une moyenne garantie pour toute suite.

Réponse

D · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

Pourquoi c'est la réponse

Les arêtes du couplage n'ont aucun sommet en commun : l'optimum nécessite donc au moins un sommet par arête, tandis que cette méthode en prend deux, d'où une 2-approximation.

Réponse

A · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de données

Réponse: C · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche n'a aucune clé plus petite dans l'arbre, c'est donc le minimum ; le coût est proportionnel à la hauteur.

Réponse

C · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
4.Structures de données

Réponse: C · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud

Pourquoi c'est la réponse

La première rotation transforme le cas gauche-droite en cas gauche-gauche, qu'une rotation à droite sur le nœud déséquilibré corrige ensuite.

Réponse

C · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Réponse

H = 12
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BD

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. EF (12)
2. BE (7)
3. AB (1)
4. BC (6)
5. BD (8)

numéro de l’arête 5

BD

Réponse

arête BD

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