Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme standard de programmation dynamique pour la plus longue sous-séquence commune de chaînes de longueurs m et n ?

  1. AO(mn)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(m + n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe P est correcte ?

  1. ALes problèmes qui demandent un temps exponentiel sur tout ordinateur
  2. BLes problèmes dont les solutions peuvent être vérifiées mais jamais trouvées en temps polynomial
  3. CLes problèmes qui peuvent être résolus en parallèle
  4. DLes problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial
3.Structures de donnéesMoyen

Une table de hachage de taille 7 utilise h(k) = k mod 7 et le sondage linéaire. Après l'insertion de 10, où est stocké 17 ?

  1. AÀ l'indice 6
  2. BÀ l'indice 0
  3. CÀ l'indice 3
  4. DÀ l'indice 4
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle affirmation sur le tri par tas (heapsort) est correcte ?

  1. AIl s'exécute en O(n) sur toute entrée
  2. BIl est stable et nécessite O(n) mémoire supplémentaire
  3. CIl trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable
  4. DIl nécessite un arbre binaire de recherche comme stockage supplémentaire, donc il utilise O(n) de mémoire en plus
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K4 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K4
H =
6.Théorie des graphesDifficile
1034157815315ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(mn)

Pourquoi c'est la réponse

La table compte (m + 1)(n + 1) cases et chacune est calculée en O(1) à partir de ses voisines.

Réponse

A · O(mn)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

P contient les problèmes de décision admettant un algorithme déterministe en temps polynomial, comme vérifier si un graphe est connexe.

Réponse

D · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: D · À l'indice 4

Pourquoi c'est la réponse

10 mod 7 = 3 et 17 mod 7 = 3 ; l'indice 3 est occupé, le sondage linéaire essaie donc la case suivante, l'indice 4.

Réponse

D · À l'indice 4
4.Structures de données

Réponse: C · Il trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable

Pourquoi c'est la réponse

Le tri par tas construit un tas max et extrait le maximum n fois dans le même tableau ; des échanges sur de longues distances peuvent réordonner des clés égales.

Réponse

C · Il trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: B

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 10, C: 3
2. C (3): B: 7, E: 10
3. B (7): D: 22
4. E (10): D: 18, F: 13
5. F (13)
6. D (18)

tour 3

B

Réponse

B

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