Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme de tri est stable ?

ATri par tas
BTri par sélection (version habituelle)
CTri fusion
DTri rapide (version en place habituelle)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe P est correcte ?

ALes problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial
BLes problèmes dont les solutions peuvent être vérifiées mais jamais trouvées en temps polynomial
CLes problèmes qui demandent un temps exponentiel sur tout ordinateur
DLes problèmes qui peuvent être résolus en parallèle

3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours préfixe ?

A4 5 2 3 1
B1 2 3 4 5
C1 2 4 5 3
D4 2 5 1 3

4.Structures de donnéesDifficile

Combien de temps faut-il pour rechercher une clé quelconque dans un tas binaire min de n éléments ?

AO(log log n)
BO(log n)
CO(1)
DO(n)

5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 12 sommets et 23 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 12|E| = 23

k =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(D) du plus court chemin de A à D dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : D

d(D) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Tri fusion

Pourquoi c'est la réponse

Le tri fusion est stable si, en cas d'égalité, la fusion prend d'abord dans la moitié gauche. Le tri rapide en place, le tri par tas et le tri par sélection ne sont généralement pas stables.

Réponse

C · Tri fusion

2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

P contient les problèmes de décision admettant un algorithme déterministe en temps polynomial, comme vérifier si un graphe est connexe.

Réponse

A · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial

3.Structures de données

Réponse: C · 1 2 4 5 3

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe visite 1, puis son sous-arbre gauche (2, 4, 5), puis 3 ; les autres options sont les parcours infixe, postfixe et par niveaux.

Réponse

C · 1 2 4 5 3

4.Structures de données

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Un tas ne donne aucune règle sur le sous-arbre qui contient une clé, donc dans le pire cas tous les nœuds doivent être examinés ; seul le minimum se trouve rapidement.

Réponse

D · O(n)

5.Théorie des graphes

Réponse: k = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

12 − 1 = 11

Arêtes à retirer

k = 23 − 11 = 12

Réponse

k = 12

6.Théorie des graphes

Réponse: d(D) = 12

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 5, C: 5

B (5): D: 12, E: 14

C (5)

D (12): F: 13

F (13)

E (14)

Plus court chemin

A → B → D

d(D) = 12

Réponse

d(D) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms