Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme trouve les plus courts chemins depuis une source dans un graphe dont les poids des arêtes sont positifs ou nuls ?

AL'algorithme de Kruskal
BBellman-Ford est nécessaire dans tous les cas
CLe parcours en profondeur (DFS)
DL'algorithme de Dijkstra

2.Algorithmes et complexitéDifficile

2²ⁿ est-il dans O(2ⁿ) ?

ANon, car 2²ⁿ croît plus lentement que 2ⁿ
BNon, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne
COui, car les deux sont exponentiels
DOui, car les facteurs constants dans l'exposant sont toujours ignorés en grand O

3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire min stocké dans un tableau (indices commençant à 0), les enfants du nœud d'indice i se trouvent aux indices :

A2i + 1 et 2i + 2
Bi + 1 et i + 2
Ci/2 et i/2 + 1
D2i et 2i + 1

4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le principal avantage d'une liste à enjambements (skip list) par rapport à une liste chaînée triée ?

AUne recherche en O(1) garantie, car chaque nœud stocke un pointeur vers tous les autres nœuds
BElle stocke les clés sans ordre
CUne recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
DElle n'utilise aucune mémoire supplémentaire

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 4

1arête AB
2arête AC
3arête BC
4arête CE
5arête DE
6arête DF
7arête EF
8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · L'algorithme de Dijkstra

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Dijkstra fonctionne avec des poids positifs ou nuls ; Bellman-Ford gère les poids négatifs ; Kruskal construit des arbres couvrants de poids minimal.

Réponse

D · L'algorithme de Dijkstra

2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Non, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

Pourquoi c'est la réponse

Une constante ajoutée à l'exposant donne un facteur constant, mais une constante qui multiplie l'exposant change la base et le taux de croissance.

Réponse

B · Non, car 2²ⁿ = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

3.Structures de données

Réponse: A · 2i + 1 et 2i + 2

Pourquoi c'est la réponse

Pour des tableaux indexés à partir de 0, l'enfant gauche est en 2i + 1, l'enfant droit en 2i + 2 et le parent en ⌊(i − 1)/2⌋.

Réponse

A · 2i + 1 et 2i + 2

4.Structures de données

Réponse: C · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant

Pourquoi c'est la réponse

Des niveaux aléatoires permettent aux recherches de sauter de nombreux nœuds, ce qui donne en moyenne O(log n) pour la recherche, l'insertion et la suppression.

Réponse

C · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant

5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Sommets impairs

A, C, D, E → 4

ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphes

Réponse: arête CE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. AC (2)

2. EF (3)

3. DF (8)

4. CE (10)

5. AB (12)

numéro de l’arête 4

Réponse

arête CE

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