Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme de Bellman-Ford sur un graphe à V sommets et E arêtes ?

AO(V + E)
BO(V³ × E)
CO(V × E)
DO(E log V)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel est le temps d'exécution de l'algorithme de Dijkstra avec un tas binaire sur un graphe à V sommets et E arêtes ?

AO(V + E)
BO(V × E)
CO(V³)
DO((V + E) log V)

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la valeur de l'expression postfixée 3 4 + 2 * ?

4.Structures de donnéesDifficile

Dans l'algorithme de Kruskal pour l'arbre couvrant de poids minimal, à quoi sert la structure union-find ?

AÀ choisir le sommet de départ
BÀ vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
CÀ trier les arêtes par poids
DÀ stocker la distance actuelle de chaque sommet depuis la source pendant le parcours

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₄ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₄

H =

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(V × E)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V − 1 tours relâche les E arêtes, d'où O(VE) ; en contrepartie, il gère les poids d'arêtes négatifs.

Réponse

C · O(V × E)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O((V + E) log V)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a V extractions du minimum et jusqu'à E diminutions de clé, chacune en O(log V) ; un tas de Fibonacci améliore cela en O(E + V log V).

Réponse

D · O((V + E) log V)

3.Structures de données

Réponse: A · 14

Pourquoi c'est la réponse

On empile 3 et 4, + donne 7 ; on empile 2, * donne 7 × 2 = 14.

Réponse

A · 14

4.Structures de données

Réponse: B · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

Pourquoi c'est la réponse

Find indique si les deux extrémités sont dans la même composante ; sinon, l'arête est ajoutée et union fusionne les composantes.

Réponse

B · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3

6.Théorie des graphes

Réponse: E

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 3, C: 13

2. B (3): C: 11, D: 13

3. C (11): E: 26

4. D (13): E: 21, F: 22

5. E (21)

6. F (22)

tour 5

Réponse

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