Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n − 1) + O(1) ?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment se comparent n! et 2ⁿ pour n grand ?

  1. AIls croissent au même rythme
  2. Bn! est O(n²)
  3. Cn! croît plus vite que 2ⁿ
  4. D2ⁿ croît plus vite que n!
3.Structures de donnéesMoyen

Un réseau routier compte 100,000 carrefours, chacun relié à environ 4 autres. Quelle représentation est la plus adaptée ?

  1. AUne liste d'adjacence
  2. BUne matrice d'adjacence
  3. CUn unique tableau trié de sommets
  4. DUn tas binaire d'arêtes
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle paire de parcours détermine toujours un arbre binaire unique à clés distinctes ?

  1. APar niveaux seul
  2. BPréfixe et postfixe
  3. CPréfixe et infixe
  4. DPréfixe seul
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K6 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K6
H =
6.Théorie des graphesDifficile
112031312867ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Le nombre d'appels double à chaque niveau et il y a n niveaux : le total est donc environ 2ⁿ, comme pour les tours de Hanoï.

Réponse

D · O(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · n! croît plus vite que 2ⁿ

Pourquoi c'est la réponse

Pour n ≥ 4, n! dépasse 2ⁿ, et le rapport croît sans borne car chaque facteur supplémentaire de n! est supérieur à 2.

Réponse

C · n! croît plus vite que 2ⁿ
3.Structures de données

Réponse: A · Une liste d'adjacence

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice nécessiterait 1010 cases, presque toutes vides ; une liste d'adjacence ne stocke qu'environ 400,000 entrées d'arêtes.

Réponse

A · Une liste d'adjacence
4.Structures de données

Réponse: C · Préfixe et infixe

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe donne la racine, et sa position dans la séquence infixe sépare les sous-arbres gauche et droit ; préfixe et postfixe sont ambigus lorsqu'un nœud a un seul enfant.

Réponse

C · Préfixe et infixe
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 40

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BD (3): prise
EF (6): prise
BE (7): prise
DF (8): sautée, ferme un cycle
AB (11): prise
DE (12): sautée, ferme un cycle
CE (13): prise

Poids total

W = 3 + 6 + 7 + 11 + 13 = 40

Réponse

W = 40

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