Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

AO(n)
BO(n²)
CO(2ⁿ)
DO(log n)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle affirmation concernant P et NP est correcte ?

ANP signifie « non polynomial »
BIl a été démontré que P ≠ NP
CTout problème de P appartient aussi à NP
DLes solutions des problèmes NP ne peuvent pas être vérifiées rapidement

3.Structures de donnéesMoyen

Un trie (arbre de préfixes) est particulièrement efficace pour :

ALa recherche des plus courts chemins
BLes recherches par préfixe, comme l'autocomplétion
CLe stockage de matrices
DLe tri de nombres

4.Structures de donnéesDifficile

Sous l'hypothèse de hachage uniforme simple, quel est le temps attendu d'une recherche dans une table de hachage à chaînage contenant n clés et m compartiments ?

AO(log n)
BO(n)
CO(1 + α), où α = n / m
DO(m)

5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 4, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 34 × deg 4

L =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

A · O(n)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Tout problème de P appartient aussi à NP

Pourquoi c'est la réponse

P ⊆ NP : si vous pouvez résoudre un problème rapidement, vous pouvez vérifier une solution rapidement. La question P = NP reste ouverte.

Réponse

C · Tout problème de P appartient aussi à NP

3.Structures de données

Réponse: B · Les recherches par préfixe, comme l'autocomplétion

Pourquoi c'est la réponse

Les tries stockent les chaînes caractère par caractère le long de chemins, donc les recherches et les requêtes par préfixe prennent un temps proportionnel à la longueur de la clé.

Réponse

B · Les recherches par préfixe, comme l'autocomplétion

4.Structures de données

Réponse: C · O(1 + α), où α = n / m

Pourquoi c'est la réponse

Le calcul du hachage coûte O(1) et la longueur attendue d'une chaîne est α ; maintenir α borné par redimensionnement donne donc un temps attendu en O(1).

Réponse

C · O(1 + α), où α = n / m

5.Théorie des graphes

Réponse: L = 14

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 28 = 2(L + 8) − 2

L = 14

Réponse

L = 14

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 4

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 1, C: 14

B (1): D: 10, E: 3

E (3): C: 5, D: 7, F: 4

F (4)

C (5)

D (7)

Plus court chemin

A → B → E → F

d(F) = 4

Réponse

d(F) = 4

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