Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

  1. ALinéaire
  2. BConstante
  3. CExponentielle
  4. DLogarithmique
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pour quelle variante du problème du sac à dos la règle gloutonne « prendre les objets par ordre de valeur par unité de poids » donne-t-elle toujours une réponse optimale ?

  1. ALe sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés
  2. BLe sac à dos 0/1, où les objets doivent toujours être pris entiers
  3. CAucune des deux variantes
  4. DLes deux variantes
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de nœuds possède un arbre binaire parfait de hauteur h, la hauteur étant comptée en arêtes ?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. Dh2
4.Structures de donnéesDifficile

Dans un tampon circulaire, front == rear peut signifier vide ou plein. Quelle est une manière courante de les distinguer ?

  1. AStocker front et rear dans la même variable
  2. BToujours vider le tampon dès que front est égal à rear, si bien que l'état est vide
  3. CChoisir une taille de tampon égale à une puissance de deux
  4. DTenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 5, 2 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 32 × deg 52 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
25681013918ABCDEF

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 2
  1. 1arête AC
  2. 2arête BC
  3. 3arête BD
  4. 4arête CE
  5. 5arête DE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

C · Exponentielle
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés

Pourquoi c'est la réponse

Lorsque les objets peuvent être fractionnés, prendre d'abord le meilleur rapport est optimal ; dans le sac à dos 0/1, un objet à fort rapport peut bloquer une meilleure combinaison, d'où la nécessité de la programmation dynamique.

Réponse

A · Le sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés
3.Structures de données

Réponse: A · 2h+1 − 1

Pourquoi c'est la réponse

La somme 1 + 2 + 4 + ... + 2h vaut 2h+1 − 1 ; par exemple, une hauteur de 2 donne 7 nœuds.

Réponse

A · 2h+1 − 1
4.Structures de données

Réponse: D · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée

Pourquoi c'est la réponse

Avec un compteur, vide signifie count = 0 et plein signifie count = capacité ; avec une case vide, plein se définit par (rear + 1) mod n == front.

Réponse

D · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

Réponse

L = 11

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête BC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. AC (2)
2. BC (5)
3. BD (6)
4. CE (8)
5. EF (9)

numéro de l’arête 2

BC

Réponse

arête BC

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