Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel énoncé sur une fonction récursive sans cas de base atteignable est correct ?

  1. AElle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels
  2. BLe compilateur la transforme toujours en une boucle qui se termine sans danger
  3. CElle renvoie automatiquement 0
  4. DElle s'exécute en temps O(1)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle technique donne au tri rapide un temps d'exécution espéré en O(n log n) pour toute entrée ?

  1. AChoisir le pivot uniformément au hasard
  2. BTrier l'entrée avant d'exécuter le tri rapide
  3. CN'utiliser la récursivité que sur la partie gauche
  4. DToujours choisir le premier élément
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la valeur de l'expression postfixée 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B24
  3. C10
  4. D11
4.Structures de donnéesDifficile

Dans le BST de racine 50, avec le sous-arbre gauche 30 (enfants 20, 40) et le sous-arbre droit 70 (enfants 60, 80), on supprime la racine en utilisant le successeur infixe. Quelle clé devient la nouvelle racine ?

  1. A60
  2. B70
  3. C80
  4. D40
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K4 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K4
H =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches de longueur 2 vont de D à F ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Sans cas de base, la récursion ne s'arrête jamais ; en pratique, la mémoire pour les cadres de pile s'épuise et le programme plante.

Réponse

A · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Choisir le pivot uniformément au hasard

Pourquoi c'est la réponse

Avec un pivot aléatoire, le temps d'exécution espéré est O(n log n) pour toute entrée ; les mauvais cas existent toujours, mais sont très improbables.

Réponse

A · Choisir le pivot uniformément au hasard
3.Structures de données

Réponse: A · 14

Pourquoi c'est la réponse

On empile 3 et 4, + donne 7 ; on empile 2, * donne 7 × 2 = 14.

Réponse

A · 14
4.Structures de données

Réponse: A · 60

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche du sous-arbre droit est 60 ; 60 remplace donc 50 et son ancienne position est supprimée. Utiliser le prédécesseur donnerait 40.

Réponse

A · 60
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Voisins communs

(M²)DF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Réponse

N = 1

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