Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n − 1) + O(1) ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Prendre les deux extrémités de chaque arête d'un couplage maximal donne une couverture par sommets. Quelle est la qualité de cette couverture ?

  1. ADe qualité inconnue par rapport à l'optimum
  2. BAu plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
  3. CAu plus log n fois le minimum
  4. DToujours une couverture par sommets minimale
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche équilibré ?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle garantie les règles des arbres rouge-noir donnent-elles sur la hauteur d'un arbre à n clés ?

  1. ALa hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
  2. BLa hauteur est au plus log2 n + 1
  3. CLa hauteur est au plus n / 2
  4. DLa hauteur vaut exactement log2 n
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
238724111ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a n niveaux avec un travail constant chacun, comme pour la somme récursive d'un tableau.

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

Pourquoi c'est la réponse

Les arêtes du couplage n'ont aucun sommet en commun : l'optimum nécessite donc au moins un sommet par arête, tandis que cette méthode en prend deux, d'où une 2-approximation.

Réponse

B · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de données

Réponse: A · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre équilibré a une hauteur d'environ log₂ n, donc une recherche suit un seul chemin de la racine à une feuille.

Réponse

A · O(log n)
4.Structures de données

Réponse: A · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque chemin contient le même nombre de nœuds noirs et deux nœuds rouges ne peuvent pas être adjacents, donc le plus long chemin fait au plus le double du plus court, ce qui donne une hauteur en O(log n).

Réponse

A · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Sommets impairs

C, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 6

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 2, C: 3
B (2): D: 9, E: 13
C (3): E: 5
E (5): F: 6
F (6)
D (9)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 6

Réponse

d(F) = 6

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