Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel espace de pile utilise une fonction factorielle récursive simple fact(n) = n × fact(n − 1) ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment l'algorithme de Bellman-Ford détecte-t-il un cycle de poids négatif accessible depuis la source ?

  1. AIl compte les cycles par un parcours en profondeur
  2. BAprès V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
  3. CIl exécute deux fois l'algorithme de Dijkstra et compare les deux résultats de distances
  4. DIl vérifie si une arête a un poids négatif
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de nœuds possède un arbre binaire parfait de hauteur h, la hauteur étant comptée en arêtes ?

  1. A2h
  2. Bh2
  3. C2h + 1
  4. D2h+1 − 1
4.Structures de donnéesDifficile

Dans une table de hachage à adressage ouvert, pourquoi la suppression se fait-elle souvent avec un marqueur « pierre tombale » (tombstone) ?

  1. ALes clés supprimées doivent être conservées pour toujours pour des raisons de sécurité, si bien que les emplacements ne peuvent jamais être réutilisés
  2. BVider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
  3. CCela rend la table triée
  4. DLes pierres tombales accélèrent le hachage
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 4, 2 sommets de degré 5, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches fermées de longueur 3 partent de B et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La récursion atteint une profondeur de n appels avant tout retour, et chaque appel nécessite un cadre de pile : elle utilise donc un espace O(n).

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les vraies distances minimales sont trouvées en V − 1 tours ; si une arête peut encore être améliorée, un cycle négatif existe forcément.

Réponse

B · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
3.Structures de données

Réponse: D · 2h+1 − 1

Pourquoi c'est la réponse

La somme 1 + 2 + 4 + ... + 2h vaut 2h+1 − 1 ; par exemple, une hauteur de 2 donne 7 nœuds.

Réponse

D · 2h+1 − 1
4.Structures de données

Réponse: B · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

Pourquoi c'est la réponse

Si un emplacement supprimé devenait vide, les recherches ultérieures pourraient s'arrêter trop tôt et manquer des clés placées plus loin dans la chaîne de sondage.

Réponse

B · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 16

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 32 = 2(L + 9) − 2
L = 16

Réponse

L = 16

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Un pas de plus

(M³)BB = 1·1 + 3·0 + 1·1 + 0·1 + 2·0 = 2

Réponse

N = 2

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