Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La récurrence T(n) = 2T(n/2) + O(n) a pour solution :

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment le problème du voyageur de commerce est-il classé ?

  1. AIl est dans P car l'algorithme de Dijkstra le résout en visitant chaque ville une seule fois
  2. BLa version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile
  3. CIl est indécidable
  4. DLa version décisionnelle est dans P mais la version d'optimisation est NP-complète
3.Structures de donnéesMoyen

Vous avez une référence vers un nœud au milieu d'une liste. Dans quelle liste pouvez-vous le supprimer en O(1) ?

  1. AUne liste doublement chaînée
  2. BUn tableau dynamique
  3. CUne liste simplement chaînée
  4. DUn tableau trié
4.Structures de donnéesDifficile

Un tableau dynamique double de taille lorsqu'il est plein. Pourquoi de nombreuses implémentations ne le réduisent-elles que lorsqu'il est rempli au quart, et non à moitié ?

  1. AParce que l'allocateur de mémoire ne peut libérer la mémoire que par quarts de bloc
  2. BParce que diviser par deux à la moitié ferait perdre des éléments
  3. CPour garder le tableau trié
  4. DPour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
219201859786ABCDEFG

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet E. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Ek = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête CE
  5. 5arête DE
  6. 6arête EF
  7. 7arête GB
  8. 8arête GC
  9. 9arête GD

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

D'après le théorème maître (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Réponse

A · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · La version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

« Existe-t-il une tournée de longueur au plus k ? » est NP-complet ; trouver la tournée la plus courte est NP-difficile, puisque c'est au moins aussi difficile.

Réponse

B · La version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: A · Une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

Un nœud doublement chaîné connaît son prédécesseur, on peut donc relier directement prev et next ; une liste simplement chaînée doit rechercher le prédécesseur.

Réponse

A · Une liste doublement chaînée
4.Structures de données

Réponse: D · Pour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite

Pourquoi c'est la réponse

Réduire à la moitié pourrait déclencher un redimensionnement à chaque opération d'une telle séquence ; l'écart entre 1/4 et plein maintient le coût amorti en O(1).

Réponse

D · Pour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: arête GB

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. DE (5)
2. GD (6)
3. GB (7)
4. AB (2)
5. GC (8)
6. EF (9)

numéro de l’arête 3

GB

Réponse

arête GB

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