Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La programmation dynamique est utile lorsqu'un problème présente :

  1. AUniquement des entrées aléatoires
  2. BUne seule boucle
  3. CAucun sous-problème, de sorte qu'il peut être résolu en une seule étape
  4. DDes sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe P est correcte ?

  1. ALes problèmes dont les solutions peuvent être vérifiées mais jamais trouvées en temps polynomial
  2. BLes problèmes qui peuvent être résolus en parallèle
  3. CLes problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial
  4. DLes problèmes qui demandent un temps exponentiel sur tout ordinateur
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(n), où n est le nombre de mots
  2. BO(L × n)
  3. CO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
  4. DO(log n), où n est le nombre de mots
4.Structures de donnéesDifficile

Pour chaque élément d'un tableau, vous voulez le prochain élément plus grand à sa droite, en O(n) au total. Quelle structure aide ?

  1. AUne pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
  2. BUne file contenant toutes les paires d'éléments
  3. CUne table de hachage de tous les éléments
  4. DUn arbre binaire de recherche reconstruit pour chaque élément
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches de longueur 3 vont de E à D ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale

Pourquoi c'est la réponse

Mémoriser les résultats des sous-problèmes qui se chevauchent (mémoïsation ou tabulation) évite le travail répété et transforme des algorithmes exponentiels en algorithmes polynomiaux.

Réponse

D · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

P contient les problèmes de décision admettant un algorithme déterministe en temps polynomial, comme vérifier si un graphe est connexe.

Réponse

C · Les problèmes de décision résolubles par un algorithme déterministe en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: C · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

C · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: A · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse

Pourquoi c'est la réponse

En parcourant de gauche à droite, on dépile chaque élément plus petit que l'élément courant (l'élément courant est leur réponse), puis on empile celui-ci ; chaque élément est déplacé au plus deux fois.

Réponse

A · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Sommets impairs

C, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Un pas de plus

(M³)ED = 2·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 2·0 = 1

Réponse

N = 1

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