Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme trouve les plus courts chemins depuis une source dans un graphe dont les poids des arêtes sont positifs ou nuls ?

  1. ALe parcours en profondeur (DFS)
  2. BL'algorithme de Kruskal
  3. CBellman-Ford est nécessaire dans tous les cas
  4. DL'algorithme de Dijkstra
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Lequel de ces problèmes de satisfiabilité est connu pour être résoluble en temps polynomial ?

  1. A2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux
  2. BSAT général sur des formules en forme normale conjonctive
  3. CLa satisfiabilité de circuits
  4. D3-SAT, où chaque clause a exactement trois littéraux
3.Structures de donnéesMoyen

Vous avez une référence vers un nœud au milieu d'une liste. Dans quelle liste pouvez-vous le supprimer en O(1) ?

  1. AUne liste simplement chaînée
  2. BUne liste doublement chaînée
  3. CUn tableau trié
  4. DUn tableau dynamique
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle structure permet de calculer le maximum de chaque fenêtre de taille k dans un tableau en O(n) au total ?

  1. AUne liste simplement chaînée des éléments de la fenêtre
  2. BUn tableau trié mis à jour par décalage
  3. CUn deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
  4. DUn tas min reconstruit pour chaque fenêtre
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 7 sommets et 12 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 7|E| = 12
k =
6.Théorie des graphesDifficile
13914151051415ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · L'algorithme de Dijkstra

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Dijkstra fonctionne avec des poids positifs ou nuls ; Bellman-Ford gère les poids négatifs ; Kruskal construit des arbres couvrants de poids minimal.

Réponse

D · L'algorithme de Dijkstra
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · 2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux

Pourquoi c'est la réponse

2-SAT est dans P (temps linéaire via les composantes fortement connexes), tandis que 3-SAT est NP-complet.

Réponse

A · 2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux
3.Structures de données

Réponse: B · Une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

Un nœud doublement chaîné connaît son prédécesseur, on peut donc relier directement prev et next ; une liste simplement chaînée doit rechercher le prédécesseur.

Réponse

B · Une liste doublement chaînée
4.Structures de données

Réponse: C · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur

Pourquoi c'est la réponse

L'avant du deque est toujours le maximum de la fenêtre ; chaque indice entre et sort du deque une seule fois, donc le travail est linéaire.

Réponse

C · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 6

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

7 − 1 = 6

Arêtes à retirer

k = 12 − 6 = 6

Réponse

k = 6
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 38

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 13, C: 9
C (9): E: 19
B (13): D: 28
E (19): D: 24
D (24): F: 38
F (38)

Plus court chemin

A → C → E → D → F
d(F) = 38

Réponse

d(F) = 38

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