Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que signifie qu'un problème possède une sous-structure optimale ?

  1. ALe problème peut être résolu en temps constant
  2. BUne solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
  3. CLe problème a exactement une solution optimale, que partagent tous les sous-problèmes
  4. DTous les sous-problèmes ont la même taille
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Lequel de ces problèmes de satisfiabilité est connu pour être résoluble en temps polynomial ?

  1. A3-SAT, où chaque clause a exactement trois littéraux
  2. BLa satisfiabilité de circuits
  3. C2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux
  4. DSAT général sur des formules en forme normale conjonctive
3.Structures de donnéesMoyen

À quoi sert un nœud sentinelle (factice) dans une liste chaînée ?

  1. AÀ empêcher la liste de dépasser un nombre maximal fixe de nœuds
  2. BÀ rendre la liste triée
  3. CÀ stocker le nombre d'éléments
  4. DÀ simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue
4.Structures de donnéesDifficile

Vous devez conserver les k plus petites valeurs d'un flux de n nombres en utilisant O(k) mémoire. Quelle approche fonctionne en O(n log k) ?

  1. AUn tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
  2. BUn tas min contenant les n valeurs, dont on extrait les k plus petites à la fin
  3. CUne file FIFO des k dernières valeurs
  4. DUn tableau trié de toutes les n valeurs
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 4, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 4
L =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches de longueur 2 vont de B à D ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes

Pourquoi c'est la réponse

La sous-structure optimale est nécessaire pour que les algorithmes gloutons comme la programmation dynamique produisent des réponses correctes.

Réponse

B · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · 2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux

Pourquoi c'est la réponse

2-SAT est dans P (temps linéaire via les composantes fortement connexes), tandis que 3-SAT est NP-complet.

Réponse

C · 2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux
3.Structures de données

Réponse: D · À simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue

Pourquoi c'est la réponse

Avec une sentinelle, chaque nœud réel a un prédécesseur, donc l'insertion ou la suppression en tête ne demande aucun traitement particulier.

Réponse

D · À simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue
4.Structures de données

Réponse: A · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive

Pourquoi c'est la réponse

La racine du tas max est la plus grande valeur conservée ; toute nouvelle valeur plus petite la remplace en O(log k), donc le tas contient toujours les k plus petites valeurs vues jusqu'ici.

Réponse

A · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 6

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

Réponse

L = 6

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)BD = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 1

Réponse

N = 1

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