Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Dans un tableau trié, vous cherchez deux éléments dont la somme vaut une cible en déplaçant un pointeur depuis chaque extrémité vers l'intérieur. Quelle est la complexité temporelle ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe NP est correcte ?

  1. ALes problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
  2. BLes problèmes qui ne sont pas polynomiaux
  3. CLes problèmes qui ne peuvent pas être résolus en temps polynomial
  4. DLes problèmes qu'aucun algorithme ne peut résoudre
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la hauteur, dans le pire des cas, d'un arbre binaire de recherche à n nœuds si les clés sont insérées dans l'ordre trié ?

  1. An (il devient une liste chaînée)
  2. B1
  3. C√n
  4. Dlog₂ n
4.Structures de donnéesDifficile

Quel problème du sondage linéaire le double hachage réduit-il principalement ?

  1. ALe besoin d'une fonction de hachage
  2. BLe regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
  3. CLe besoin de stocker les clés dans la table
  4. DLe coût en O(n) de la lecture de la valeur d'une clé
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 34 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
111261311111133ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Si la somme est trop petite, le pointeur gauche avance vers la droite ; si elle est trop grande, le pointeur droit recule vers la gauche : il y a donc au plus n étapes.

Réponse

C · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat

Pourquoi c'est la réponse

Pour un problème NP, une solution proposée (certificat) peut être vérifiée rapidement, par exemple vérifier qu'une affectation donnée satisfait une formule booléenne.

Réponse

A · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
3.Structures de données

Réponse: A · n (il devient une liste chaînée)

Pourquoi c'est la réponse

Des insertions triées créent un arbre dégénéré de hauteur n, ce qui rend les recherches en O(n). Les arbres équilibrés évitent ce problème.

Réponse

A · n (il devient une liste chaînée)
4.Structures de données

Réponse: B · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées

Pourquoi c'est la réponse

Le sondage linéaire avance d'un pas de 1, donc les suites occupées grossissent et fusionnent ; le double hachage utilise un second hachage pour la taille du pas, si bien que des clés différentes sondent des séquences différentes.

Réponse

B · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 17

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 29 = 2(L + 7) − 2
L = 17

Réponse

L = 17

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: B

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): C: 11
2. C (11): B: 23, E: 24
3. B (23): D: 29, G: 36
4. E (24): F: 25
5. F (25)
6. D (29): G: 32
7. G (32)

tour 3

B

Réponse

B

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