Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel énoncé sur une fonction récursive sans cas de base atteignable est correct ?

  1. AElle renvoie automatiquement 0
  2. BElle s'exécute en temps O(1)
  3. CLe compilateur la transforme toujours en une boucle qui se termine sans danger
  4. DElle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour (j = i ; j ≤ n ; j = j + i) faire un travail O(1) ?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
  2. BO(n), où n est le nombre de mots
  3. CO(log n), où n est le nombre de mots
  4. DO(L × n)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété maintient tout B-arbre parfaitement équilibré ?

  1. ALes clés ne sont stockées que dans la racine
  2. BChaque nœud stocke une seule clé
  3. CChaque nœud a exactement deux enfants
  4. DToutes les feuilles sont à la même profondeur
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1247215413129ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(D) du plus court chemin de A à D dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : D
d(D) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Sans cas de base, la récursion ne s'arrête jamais ; en pratique, la mémoire pour les cadres de pile s'épuise et le programme plante.

Réponse

D · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le total vaut n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, et le nombre harmonique Hn est Θ(log n).

Réponse

B · O(n log n)
3.Structures de données

Réponse: A · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

A · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: D · Toutes les feuilles sont à la même profondeur

Pourquoi c'est la réponse

Les nœuds pleins se scindent vers le haut et l'arbre ne grandit que lorsque la racine se scinde, donc toutes les feuilles restent toujours au même niveau.

Réponse

D · Toutes les feuilles sont à la même profondeur
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Sommets impairs

A, C, D, E → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: d(D) = 8

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 1, C: 2
B (1): D: 8, G: 14
C (2): E: 4
E (4)
D (8): F: 12
F (12)
G (14)

Plus court chemin

A → B → D
d(D) = 8

Réponse

d(D) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms