Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi la programmation dynamique n'apporte-t-elle aucune accélération réelle au tri fusion ?

  1. ALa programmation dynamique ne fonctionne que sur les problèmes de graphes, pas sur les tableaux
  2. BSes sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
  3. CLe tri fusion est déjà en O(n)
  4. DLe tri fusion n'a pas de structure récursive
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de la construction d'un tas binaire à partir de n éléments non triés avec la méthode ascendante (bottom-up) ?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
3.Structures de donnéesMoyen

À quoi sert un nœud sentinelle (factice) dans une liste chaînée ?

  1. AÀ simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue
  2. BÀ stocker le nombre d'éléments
  3. CÀ empêcher la liste de dépasser un nombre maximal fixe de nœuds
  4. DÀ rendre la liste triée
4.Structures de donnéesDifficile

Vous devez conserver les k plus petites valeurs d'un flux de n nombres en utilisant O(k) mémoire. Quelle approche fonctionne en O(n log k) ?

  1. AUn tableau trié de toutes les n valeurs
  2. BUn tas min contenant les n valeurs, dont on extrait les k plus petites à la fin
  3. CUne file FIFO des k dernières valeurs
  4. DUn tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
10161119203ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet B. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2.

départ : Bk = 2
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser

Pourquoi c'est la réponse

Les moitiés du tri fusion sont disjointes et chacune est résolue une seule fois ; la PD n'aide que lorsque les sous-problèmes se répètent, comme pour Fibonacci.

Réponse

B · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La somme des coûts de descente (sift-down) sur les niveaux donne une série convergente ; heapify s'exécute donc en temps linéaire.

Réponse

C · O(n)
3.Structures de données

Réponse: A · À simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue

Pourquoi c'est la réponse

Avec une sentinelle, chaque nœud réel a un prédécesseur, donc l'insertion ou la suppression en tête ne demande aucun traitement particulier.

Réponse

A · À simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue
4.Structures de données

Réponse: D · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive

Pourquoi c'est la réponse

La racine du tas max est la plus grande valeur conservée ; toute nouvelle valeur plus petite la remplace en O(log k), donc le tas contient toujours les k plus petites valeurs vues jusqu'ici.

Réponse

D · Un tas max de taille k, dont on remplace la racine lorsqu'une valeur plus petite arrive
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Sommets impairs

B, C, D, E → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. BC (1)
2. BE (3)
3. AB (10)
4. BD (11)

numéro de l’arête 2

BE

Réponse

arête BE

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