Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Comment l'algorithme de Prim construit-il un arbre couvrant de poids minimal ?

  1. AIl exécute un parcours en largeur et conserve l'arbre du BFS
  2. BIl supprime l'arête la plus chère jusqu'à ce qu'il ne reste plus de cycle
  3. CIl fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
  4. DIl trie toutes les arêtes par poids et ajoute chacune d'elles sauf si elle formait un cycle dans la forêt
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une boucle qui ne conserve que les deux dernières valeurs ?

  1. AO(2ⁿ) en temps et O(1) en espace
  2. BO(n) en temps et O(1) en espace
  3. CO(n) en temps et O(n) en espace
  4. DO(log n) en temps et O(n) en espace
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire stocké dans un tableau commençant à l'indice 0, où se trouve le parent du nœud d'indice i ?

  1. AÀ l'indice 2i + 1
  2. BÀ l'indice ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CÀ l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DÀ l'indice i − 1
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les arbres B (B-trees) sont-ils utilisés dans les bases de données et les systèmes de fichiers ?

  1. AIls n'ont pas besoin de rééquilibrage
  2. BLeur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
  3. CIls utilisent moins de mémoire que n'importe quel tableau, si bien que tout l'index tient toujours en mémoire centrale
  4. DIls stockent les données sans les trier
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
19713141761281118ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Prim, avec une file de priorité des arêtes sortantes, s'exécute en O(E log V) avec un tas binaire.

Réponse

C · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n) en temps et O(1) en espace

Pourquoi c'est la réponse

Chaque étape n'a besoin que des deux valeurs précédentes : la table de la méthode ascendante peut donc être remplacée par deux variables.

Réponse

B · O(n) en temps et O(1) en espace
3.Structures de données

Réponse: C · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Pourquoi c'est la réponse

Les enfants de i sont en 2i + 1 et 2i + 2, donc le parent de i est en ⌊(i − 1) / 2⌋ ; avec une indexation à partir de 1, il est en ⌊i / 2⌋.

Réponse

C · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Structures de données

Réponse: B · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes

Pourquoi c'est la réponse

Les arbres B stockent de nombreuses clés par nœud, donc la hauteur est faible et peu de lectures de blocs sont nécessaires par recherche ; les arbres B+ relient en plus les feuilles pour les parcours d'intervalles.

Réponse

B · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Sommets impairs

B, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 65

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

EF (6): prise
BC (7): prise
GC (8): prise
GD (11): prise
GB (12): sautée, ferme un cycle
BD (13): sautée, ferme un cycle
CE (14): prise
DF (17): sautée, ferme un cycle
GE (18): sautée, ferme un cycle
AB (19): prise

Poids total

W = 6 + 7 + 8 + 11 + 14 + 19 = 65

Réponse

W = 65

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