Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de la construction d'un tas binaire à partir de n éléments non triés avec la méthode ascendante (bottom-up) ?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.Structures de donnéesMoyen

Comment trouve-t-on la clé minimale dans un arbre binaire de recherche ?

  1. AOn suit les enfants droits depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
  2. BOn suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
  3. COn visite toutes les feuilles et on les compare
  4. DOn regarde uniquement la racine
4.Structures de donnéesDifficile

Dans un tampon circulaire, front == rear peut signifier vide ou plein. Quelle est une manière courante de les distinguer ?

  1. AToujours vider le tampon dès que front est égal à rear, si bien que l'état est vide
  2. BTenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
  3. CStocker front et rear dans la même variable
  4. DChoisir une taille de tampon égale à une puissance de deux
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K8 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K8
H =
6.Théorie des graphesDifficile
1011313142715ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La somme des coûts de descente (sift-down) sur les niveaux donne une série convergente ; heapify s'exécute donc en temps linéaire.

Réponse

A · O(n)
3.Structures de données

Réponse: B · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche n'a aucune clé plus petite dans l'arbre, c'est donc le minimum ; le coût est proportionnel à la hauteur.

Réponse

B · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
4.Structures de données

Réponse: B · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée

Pourquoi c'est la réponse

Avec un compteur, vide signifie count = 0 et plein signifie count = capacité ; avec une case vide, plein se définit par (rear + 1) mod n == front.

Réponse

B · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 2520

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Réponse

H = 2520
6.Théorie des graphes

Réponse: F

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 10
2. B (10): C: 21, D: 13, E: 25
3. D (13): F: 15
4. F (15): E: 22
5. C (21)
6. E (22)

tour 4

F

Réponse

F

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