Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

  1. ALes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
  2. BLes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)
  3. CUn ordre topologique en O(V²)
  4. DUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

  1. AQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
  2. BQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
  3. CLa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
  4. DLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Comment fonctionne l'extraction du minimum (extract-min) dans un tas binaire min ?

  1. AOn cherche le nouveau minimum parmi toutes les feuilles
  2. BOn retire le dernier élément du tableau
  3. COn retire la racine et on décale tous les éléments d'une case vers la gauche
  4. DOn déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre
4.Structures de donnéesDifficile

Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?

  1. ALes valeurs de hachage doivent être des nombres premiers
  2. BDes valeurs de hachage égales impliquent des clés égales
  3. CDes clés différentes doivent avoir des valeurs de hachage différentes
  4. DDes clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 16 sommets et 19 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 16|E| = 19
k =
6.Théorie des graphesDifficile
61315971462ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

A · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

A · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de données

Réponse: D · On déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre

Pourquoi c'est la réponse

Le dernier élément comble le trou à la racine et est échangé avec son plus petit enfant jusqu'à ce que la propriété de tas soit respectée, en O(log n).

Réponse

D · On déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre
4.Structures de données

Réponse: D · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales

Pourquoi c'est la réponse

Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.

Réponse

D · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 4

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

16 − 1 = 15

Arêtes à retirer

k = 19 − 15 = 4

Réponse

k = 4
6.Théorie des graphes

Réponse: C

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 6, C: 13
2. B (6): D: 15, E: 8
3. E (8): F: 14
4. C (13)
5. F (14)
6. D (15)

tour 4

C

Réponse

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms