Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi omet-on généralement la base du logarithme dans la notation grand O, comme dans O(log n) ?

  1. ATous les logarithmes en informatique sont en base 10, elle est donc implicite
  2. BLes logarithmes sont toujours arrondis à l'entier
  3. CLa base n'a d'importance que pour n petit
  4. DDes logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel algorithme trouve un arbre couvrant de poids minimal en ajoutant de façon répétée l'arête la moins coûteuse qui ne forme pas de cycle ?

  1. AFloyd-Warshall
  2. BL'algorithme de Prim à partir d'un seul nœud
  3. CL'algorithme de Kruskal
  4. DL'algorithme de Dijkstra
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données un programme en cours d'exécution utilise-t-il pour suivre les appels de fonction actifs et leurs variables locales ?

  1. AUne table de hachage des fonctions
  2. BLa pile d'appels
  3. CLa file de la mémoire du tas
  4. DUn arbre binaire de recherche de cadres
4.Structures de donnéesDifficile

Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?

  1. ALes valeurs de hachage doivent être des nombres premiers
  2. BDes valeurs de hachage égales impliquent des clés égales
  3. CDes clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
  4. DDes clés différentes doivent avoir des valeurs de hachage différentes
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K6 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K6
H =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de A et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Des logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant

Pourquoi c'est la réponse

Changer de base multiplie le logarithme par une constante, et le grand O ignore les facteurs constants.

Réponse

D · Des logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · L'algorithme de Kruskal

Pourquoi c'est la réponse

Kruskal trie les arêtes par poids et les ajoute si elles relient des composantes différentes ; Prim fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ.

Réponse

C · L'algorithme de Kruskal
3.Structures de données

Réponse: B · La pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Chaque appel empile un cadre de pile (stack frame) et chaque retour le dépile, c'est pourquoi l'appel le plus récent se termine en premier.

Réponse

B · La pile d'appels
4.Structures de données

Réponse: C · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales

Pourquoi c'est la réponse

Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.

Réponse

C · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Voisins communs

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Réponse

N = 2

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