Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que mesure l'analyse amortie ?

  1. ALe coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
  2. BLe coût d'un algorithme sur la meilleure entrée
  3. CLe coût de l'unique opération la plus chère, où qu'elle se trouve dans la suite
  4. DLe coût espéré sur des entrées aléatoires
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n/2) + n log n ?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Structures de donnéesMoyen

Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?

  1. AElle est toujours triangulaire supérieure
  2. BElle est symétrique par rapport à la diagonale principale
  3. CSa diagonale principale contient toujours des 1
  4. DChaque ligne contient exactement un 1
4.Structures de donnéesDifficile

Dans le BST de racine 50, avec le sous-arbre gauche 30 (enfants 20, 40) et le sous-arbre droit 70 (enfants 60, 80), on supprime la racine en utilisant le successeur infixe. Quelle clé devient la nouvelle racine ?

  1. A80
  2. B40
  3. C60
  4. D70
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
151186162ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet A. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Ak = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

Pourquoi c'est la réponse

L'analyse amortie répartit le coût des opérations rares et coûteuses sur de nombreuses opérations bon marché, ce qui donne une moyenne garantie pour toute suite.

Réponse

A · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(n log² n)

Pourquoi c'est la réponse

Le niveau k effectue environ n log(n / 2ᵏ) de travail, et la somme sur les log n niveaux donne Θ(n log² n), le deuxième cas étendu du théorème maître.

Réponse

D · Θ(n log² n)
3.Structures de données

Réponse: B · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale

Pourquoi c'est la réponse

Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.

Réponse

B · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de données

Réponse: C · 60

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche du sous-arbre droit est 60 ; 60 remplace donc 50 et son ancienne position est supprimée. Utiliser le prédécesseur donnerait 40.

Réponse

C · 60
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 27 = 2(L + 9) − 2
L = 11

Réponse

L = 11

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête AC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. AB (1)
2. BE (2)
3. AC (5)
4. BD (8)

numéro de l’arête 3

AC

Réponse

arête AC

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