Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Environ combien de comparaisons la recherche dichotomique nécessite-t-elle dans le pire cas sur un tableau trié de 1,000,000 d'éléments ?

  1. AEnviron 20
  2. BEnviron 1,000
  3. CEnviron 100
  4. DEnviron 500,000
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment l'algorithme de Bellman-Ford détecte-t-il un cycle de poids négatif accessible depuis la source ?

  1. AIl compte les cycles par un parcours en profondeur
  2. BAprès V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
  3. CIl vérifie si une arête a un poids négatif
  4. DIl exécute deux fois l'algorithme de Dijkstra et compare les deux résultats de distances
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données un programme en cours d'exécution utilise-t-il pour suivre les appels de fonction actifs et leurs variables locales ?

  1. AUne table de hachage des fonctions
  2. BUn arbre binaire de recherche de cadres
  3. CLa file de la mémoire du tas
  4. DLa pile d'appels
4.Structures de donnéesDifficile

Sous l'hypothèse de hachage uniforme simple, quel est le temps attendu d'une recherche dans une table de hachage à chaînage contenant n clés et m compartiments ?

  1. AO(m)
  2. BO(n)
  3. CO(1 + α), où α = n / m
  4. DO(log n)
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
49611952182012ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Environ 20

Pourquoi c'est la réponse

220 ≈ 1,048,576 : après environ 20 divisions par deux, il ne reste qu'un élément.

Réponse

A · Environ 20
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les vraies distances minimales sont trouvées en V − 1 tours ; si une arête peut encore être améliorée, un cycle négatif existe forcément.

Réponse

B · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
3.Structures de données

Réponse: D · La pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Chaque appel empile un cadre de pile (stack frame) et chaque retour le dépile, c'est pourquoi l'appel le plus récent se termine en premier.

Réponse

D · La pile d'appels
4.Structures de données

Réponse: C · O(1 + α), où α = n / m

Pourquoi c'est la réponse

Le calcul du hachage coûte O(1) et la longueur attendue d'une chaîne est α ; maintenir α borné par redimensionnement donne donc un temps attendu en O(1).

Réponse

C · O(1 + α), où α = n / m
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 30

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BD (1): prise
EF (2): prise
AB (4): prise
DF (5): prise
BC (6): prise
AC (9): sautée, ferme un cycle
GE (12): prise

Poids total

W = 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 12 = 30

Réponse

W = 30

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