Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme trouve les plus courts chemins depuis une source dans un graphe dont les poids des arêtes sont positifs ou nuls ?

  1. ALe parcours en profondeur (DFS)
  2. BL'algorithme de Kruskal
  3. CL'algorithme de Dijkstra
  4. DBellman-Ford est nécessaire dans tous les cas
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Un problème est NP-complet s'il :

  1. AEst résoluble en temps polynomial
  2. BEst impossible à résoudre
  3. CAppartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial
  4. DEst hors de NP mais plus difficile que tous les problèmes NP, comme le problème de l'arrêt
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire min stocké dans un tableau (indices commençant à 0), les enfants du nœud d'indice i se trouvent aux indices :

  1. A2i + 1 et 2i + 2
  2. Bi + 1 et i + 2
  3. Ci/2 et i/2 + 1
  4. D2i et 2i + 1
4.Structures de donnéesDifficile

Dans le BST de racine 50, avec le sous-arbre gauche 30 (enfants 20, 40) et le sous-arbre droit 70 (enfants 60, 80), on supprime la racine en utilisant le successeur infixe. Quelle clé devient la nouvelle racine ?

  1. A70
  2. B40
  3. C60
  4. D80
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
57610921313ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · L'algorithme de Dijkstra

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Dijkstra fonctionne avec des poids positifs ou nuls ; Bellman-Ford gère les poids négatifs ; Kruskal construit des arbres couvrants de poids minimal.

Réponse

C · L'algorithme de Dijkstra
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Appartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

Les problèmes NP-complets sont les plus difficiles de NP ; un algorithme polynomial pour l'un d'eux en donnerait un pour tout NP.

Réponse

C · Appartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: A · 2i + 1 et 2i + 2

Pourquoi c'est la réponse

Pour des tableaux indexés à partir de 0, l'enfant gauche est en 2i + 1, l'enfant droit en 2i + 2 et le parent en ⌊(i − 1)/2⌋.

Réponse

A · 2i + 1 et 2i + 2
4.Structures de données

Réponse: C · 60

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche du sous-arbre droit est 60 ; 60 remplace donc 50 et son ancienne position est supprimée. Utiliser le prédécesseur donnerait 40.

Réponse

C · 60
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Sommets impairs

C, D, E, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: C

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 5, C: 7
2. B (5): D: 15, E: 8
3. C (7)
4. E (8): D: 10, F: 9
5. F (9)
6. D (10)

tour 3

C

Réponse

C

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