Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Dans le problème de sélection d'activités, quelle règle gloutonne donne toujours un nombre maximal d'activités sans chevauchement ?

  1. AChoisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles
  2. BChoisir d'abord l'activité ayant le moins de chevauchements, puis recommencer avec les activités compatibles
  3. CChoisir d'abord l'activité la plus courte
  4. DChoisir l'activité qui commence le plus tôt
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri par insertion s'exécute en O(n) sur une entrée triée. Cela contredit-il la borne inférieure Ω(n log n) des tris par comparaisons ?

  1. AOui, mais seulement pour les tableaux de moins de 100 éléments
  2. BOui, la borne inférieure est donc fausse
  3. CNon, car le tri par insertion n'est pas un tri par comparaisons
  4. DNon, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données est utilisée par le parcours en profondeur (DFS) dans sa version itérative ?

  1. AUne pile
  2. BUniquement une table de hachage
  3. CUne file
  4. DUn tas
4.Structures de donnéesDifficile

Comment détecter si une liste simplement chaînée contient un cycle avec O(1) mémoire supplémentaire ?

  1. ACompter les nœuds jusqu'à dépasser le champ de longueur de la liste
  2. BStocker chaque nœud visité dans un ensemble haché
  3. CAvancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
  4. DTrier la liste et chercher des doublons
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K4 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K4
H =
6.Théorie des graphesDifficile
931081620115ABCDEF

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête DF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Choisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles

Pourquoi c'est la réponse

On peut prouver par un argument d'échange que choisir la fin la plus précoce est optimal ; les autres règles admettent des contre-exemples.

Réponse

A · Choisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée

Pourquoi c'est la réponse

La borne dit que tout tri par comparaisons nécessite environ n log n comparaisons sur une certaine entrée de taille n ; des entrées particulières peuvent être bien plus rapides.

Réponse

D · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
3.Structures de données

Réponse: A · Une pile

Pourquoi c'est la réponse

Le DFS explore aussi profondément que possible et utilise naturellement une pile (ou la pile d'appels de la récursion) ; le BFS utilise une file.

Réponse

A · Une pile
4.Structures de données

Réponse: C · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent

Pourquoi c'est la réponse

Dans l'algorithme de Floyd, s'il y a un cycle, le pointeur rapide finit par rattraper le lent ; sinon, le pointeur rapide atteint null.

Réponse

C · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BD

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. AC (3)
2. BE (5)
3. BD (8)
4. AB (9)
5. DF (11)

numéro de l’arête 3

BD

Réponse

arête BD

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