Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n − 1) + O(1) ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle borne est correcte pour log(n!) ?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Une table de hachage de taille 7 utilise h(k) = k mod 7 et le sondage linéaire. Après l'insertion de 10, où est stocké 17 ?

  1. AÀ l'indice 0
  2. BÀ l'indice 4
  3. CÀ l'indice 6
  4. DÀ l'indice 3
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

  1. ATout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles
  2. BChaque nœud doit être rouge
  3. CLa racine doit être rouge
  4. DTout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1171313131734ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a n niveaux avec un travail constant chacun, comme pour la somme récursive d'un tableau.

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Θ(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

log(n!) ≤ n log n, et les n / 2 plus grands facteurs donnent log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) ; c'est pourquoi le tri par comparaisons nécessite Ω(n log n).

Réponse

B · Θ(n log n)
3.Structures de données

Réponse: B · À l'indice 4

Pourquoi c'est la réponse

10 mod 7 = 3 et 17 mod 7 = 3 ; l'indice 3 est occupé, le sondage linéaire essaie donc la case suivante, l'indice 4.

Réponse

B · À l'indice 4
4.Structures de données

Réponse: D · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

D · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Sommets impairs

A, B, C, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 27

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): C: 11
C (11): B: 18, E: 14, G: 18
E (14): F: 27
B (18): D: 19
G (18)
D (19)
F (27)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 27

Réponse

d(F) = 27

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