Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

AUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
BLes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
CLes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)
DUn ordre topologique en O(V²)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème du sac à dos 0/1 résolu par programmation dynamique prend un temps O(nW). Pourquoi dit-on qu'il est pseudo-polynomial ?

AW est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
BParce que n est toujours petit
CParce qu'il ne fonctionne que pour W = 0
DParce que l'algorithme est probabiliste et que son temps d'exécution varie à chaque entrée

3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire stocké dans un tableau commençant à l'indice 0, où se trouve le parent du nœud d'indice i ?

AÀ l'indice 2i + 1
BÀ l'indice ⌊i / 2⌋ + 1
CÀ l'indice i − 1
DÀ l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

4.Structures de donnéesDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace supplémentaire de l'inversion sur place d'une liste simplement chaînée ?

AO(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
BO(1) en temps et O(1) en espace supplémentaire
CO(n) en temps et O(n) en espace supplémentaire
DO(n log n) en temps et O(1) en espace supplémentaire

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₇ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₇

H =

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

B · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

Pourquoi c'est la réponse

Le temps d'exécution est polynomial en la valeur de W mais exponentiel en sa longueur (log W bits) ; le sac à dos 0/1 est NP-complet.

Réponse

A · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

3.Structures de données

Réponse: D · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Pourquoi c'est la réponse

Les enfants de i sont en 2i + 1 et 2i + 2, donc le parent de i est en ⌊(i − 1) / 2⌋ ; avec une indexation à partir de 1, il est en ⌊i / 2⌋.

Réponse

D · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

4.Structures de données

Réponse: A · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire

Pourquoi c'est la réponse

Trois pointeurs (précédent, courant, suivant) permettent d'inverser chaque lien en un seul passage sans allouer de nouveaux nœuds.

Réponse

A · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 360

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Réponse

H = 360

6.Théorie des graphes

Réponse: B

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 11, C: 7

2. C (7): G: 21

3. B (11): D: 23, G: 20

4. G (20): E: 24

5. D (23)

6. E (24): F: 38

7. F (38)

tour 3

Réponse

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