Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

  1. AExponentielle
  2. BConstante
  3. CLinéaire
  4. DLogarithmique
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi la recherche dichotomique ne s'exécute-t-elle pas en O(log n) sur une liste simplement chaînée ?

  1. ALa recherche dichotomique nécessite au moins deux fois plus de mémoire
  2. BLes comparaisons sur les nœuds d'une liste chaînée sont plus lentes
  3. CAtteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice
  4. DLes listes chaînées ne peuvent pas être triées
3.Structures de donnéesMoyen

Comment insère-t-on un nouvel élément dans un tas binaire ?

  1. AOn le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
  2. BOn l'insère à sa position triée en décalant d'un cran vers la droite tous les éléments plus grands
  3. COn reconstruit entièrement le tas
  4. DOn le place à la racine et on le fait descendre
4.Structures de donnéesDifficile

Combien de temps faut-il pour rechercher une clé quelconque dans un tas binaire min de n éléments ?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log log n)
  4. DO(log n)
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K4 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K4
H =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches fermées de longueur 3 partent de E et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

A · Exponentielle
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice

Pourquoi c'est la réponse

La recherche dichotomique nécessite un accès en O(1) au milieu ; sur une liste chaînée, s'y rendre coûte un temps linéaire, si bien que le total est O(n).

Réponse

C · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice
3.Structures de données

Réponse: A · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

Pourquoi c'est la réponse

L'ajout à la fin maintient l'arbre complet ; les échanges avec le parent rétablissent l'ordre en O(log n) étapes.

Réponse

A · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de données

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Un tas ne donne aucune règle sur le sous-arbre qui contient une clé, donc dans le pire cas tous les nœuds doivent être examinés ; seul le minimum se trouve rapidement.

Réponse

A · O(n)
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 4

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un pas de plus

(M³)EE = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 2·1 + 4·0 + 1·1 = 4

Réponse

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms