Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La récurrence T(n) = 2T(n/2) + O(n) a pour solution :

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Qu'a établi le théorème de Cook-Levin ?

  1. ALe problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
  2. BP est différent de NP
  3. CTout problème NP peut être résolu en temps exponentiel
  4. DLe problème de l'arrêt est indécidable
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

  1. AIl n'y a pas de maximum
  2. B2
  3. C1
  4. D0,5
4.Structures de donnéesDifficile

Quel problème du sondage linéaire le double hachage réduit-il principalement ?

  1. ALe besoin d'une fonction de hachage
  2. BLe regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
  3. CLe coût en O(n) de la lecture de la valeur d'une clé
  4. DLe besoin de stocker les clés dans la table
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1571105201611819ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

D'après le théorème maître (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Réponse

C · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet

Pourquoi c'est la réponse

Cook et Levin ont montré indépendamment que tout problème de NP se réduit à SAT en temps polynomial : SAT a donc été le premier problème NP-complet connu.

Réponse

A · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
3.Structures de données

Réponse: C · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

C · 1
4.Structures de données

Réponse: B · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées

Pourquoi c'est la réponse

Le sondage linéaire avance d'un pas de 1, donc les suites occupées grossissent et fusionnent ; le double hachage utilise un second hachage pour la taille du pas, si bien que des clés différentes sondent des séquences différentes.

Réponse

B · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Sommets impairs

A, C → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 56

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BD (1): prise
DE (5): prise
BC (7): prise
GD (8): prise
CE (10): sautée, ferme un cycle
GC (11): sautée, ferme un cycle
AC (15): prise
GB (16): sautée, ferme un cycle
GE (19): sautée, ferme un cycle
DF (20): prise

Poids total

W = 1 + 5 + 7 + 8 + 15 + 20 = 56

Réponse

W = 56

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