Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n/2) + O(1) ?

AO(n log n)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la différence entre un problème indécidable et un problème intraitable ?

ALes problèmes indécidables sont dans NP, tandis que les problèmes intraitables sont dans P
BLes problèmes intraitables ne peuvent être résolus par aucun algorithme, tandis que les indécidables demandent seulement un temps exponentiel
CUn problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
DLes deux signifient que le problème n'a aucun algorithme

3.Structures de donnéesMoyen

Dans une file circulaire stockée dans un tableau de capacité n, comment calcule-t-on la position suivant l'indice i ?

A(i − 1) mod n
B(i + 1) mod n
C2i + 1
Di + 1

4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

ATout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
BChaque nœud doit être rouge
CTout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles
DLa racine doit être rouge

5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 2 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2

L =

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le problème est divisé par deux à chaque étape avec un travail constant par étape : il y a donc environ log₂ n étapes.

Réponse

C · O(log n)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

Pourquoi c'est la réponse

Le problème de l'arrêt n'a aucun algorithme ; un problème NP-difficile comme le TSP peut être résolu par force brute, simplement pas en temps polynomial connu.

Réponse

C · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

3.Structures de données

Réponse: B · (i + 1) mod n

Pourquoi c'est la réponse

L'opération modulo ramène l'indice n − 1 à 0, ce qui permet de réutiliser le tableau sans décaler les éléments.

Réponse

B · (i + 1) mod n

4.Structures de données

Réponse: A · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

A · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

5.Théorie des graphes

Réponse: L = 21

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 43 = 2(L + 12) − 2

L = 21

Réponse

L = 21

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: C

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 10

2. B (10): C: 21, D: 12, E: 21

3. D (12): E: 19, F: 24

4. E (19)

5. C (21)

6. F (24)

tour 5

Réponse

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