Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Le parcours en largeur (BFS) sur un graphe non pondéré trouve :

  1. AL'arbre couvrant de poids minimal
  2. BUn ordre topologique dans tous les graphes
  3. CLes plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
  4. DLes plus courts chemins dans les graphes qui contiennent des poids d'arêtes négatifs
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la différence entre un problème indécidable et un problème intraitable ?

  1. AUn problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
  2. BLes problèmes intraitables ne peuvent être résolus par aucun algorithme, tandis que les indécidables demandent seulement un temps exponentiel
  3. CLes problèmes indécidables sont dans NP, tandis que les problèmes intraitables sont dans P
  4. DLes deux signifient que le problème n'a aucun algorithme
3.Structures de donnéesMoyen

Quel est le coût de l'insertion d'un élément au milieu d'un tableau de n éléments ?

  1. AO(log n), grâce à la recherche dichotomique
  2. BO(n²), car chaque élément se déplace n fois
  3. CO(n), car les éléments suivants doivent être décalés
  4. DO(1), car l'indice est connu
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le principal avantage d'une liste à enjambements (skip list) par rapport à une liste chaînée triée ?

  1. AElle stocke les clés sans ordre
  2. BElle n'utilise aucune mémoire supplémentaire
  3. CUne recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
  4. DUne recherche en O(1) garantie, car chaque nœud stocke un pointeur vers tous les autres nœuds
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 34 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
61321812137ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ

Pourquoi c'est la réponse

BFS visite les nœuds par ordre de distance (en arêtes) depuis la source ; il trouve donc les plus courts chemins non pondérés en O(V + E).

Réponse

C · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

Pourquoi c'est la réponse

Le problème de l'arrêt n'a aucun algorithme ; un problème NP-difficile comme le TSP peut être résolu par force brute, simplement pas en temps polynomial connu.

Réponse

A · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
3.Structures de données

Réponse: C · O(n), car les éléments suivants doivent être décalés

Pourquoi c'est la réponse

Tous les éléments situés après le point d'insertion se décalent d'une position vers la droite, ce qui prend un temps proportionnel à n.

Réponse

C · O(n), car les éléments suivants doivent être décalés
4.Structures de données

Réponse: C · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant

Pourquoi c'est la réponse

Des niveaux aléatoires permettent aux recherches de sauter de nombreux nœuds, ce qui donne en moyenne O(log n) pour la recherche, l'insertion et la suppression.

Réponse

C · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 17

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 29 = 2(L + 7) − 2
L = 17

Réponse

L = 17

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: C

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 6, C: 13
2. B (6): C: 8, D: 7, E: 13
3. D (7): F: 20
4. C (8)
5. E (13)
6. F (20)

tour 4

C

Réponse

C

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