Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi omet-on généralement la base du logarithme dans la notation grand O, comme dans O(log n) ?

  1. ADes logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant
  2. BTous les logarithmes en informatique sont en base 10, elle est donc implicite
  3. CLes logarithmes sont toujours arrondis à l'entier
  4. DLa base n'a d'importance que pour n petit
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi une recherche dans une table de hachage est-elle en O(1) en moyenne mais en O(n) dans le pire cas ?

  1. ALes clés doivent d'abord être triées
  2. BL'accès aux tableaux est en O(n)
  3. CDe nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
  4. DLes fonctions de hachage sont lentes
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours préfixe ?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 5 2 3 1
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les arbres B (B-trees) sont-ils utilisés dans les bases de données et les systèmes de fichiers ?

  1. ALeur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
  2. BIls n'ont pas besoin de rééquilibrage
  3. CIls utilisent moins de mémoire que n'importe quel tableau, si bien que tout l'index tient toujours en mémoire centrale
  4. DIls stockent les données sans les trier
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K6 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K6
H =
6.Théorie des graphesDifficile
1814206151213ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet B. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Bk = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Des logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant

Pourquoi c'est la réponse

Changer de base multiplie le logarithme par une constante, et le grand O ignore les facteurs constants.

Réponse

A · Des logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment

Pourquoi c'est la réponse

Avec une bonne fonction de hachage et un facteur de charge adapté, les compartiments restent courts en moyenne ; un hachage malveillant ou médiocre peut placer toutes les clés dans un seul compartiment.

Réponse

C · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
3.Structures de données

Réponse: A · 1 2 4 5 3

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe visite 1, puis son sous-arbre gauche (2, 4, 5), puis 3 ; les autres options sont les parcours infixe, postfixe et par niveaux.

Réponse

A · 1 2 4 5 3
4.Structures de données

Réponse: A · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes

Pourquoi c'est la réponse

Les arbres B stockent de nombreuses clés par nœud, donc la hauteur est faible et peu de lectures de blocs sont nécessaires par recherche ; les arbres B+ relient en plus les feuilles pour les parcours d'intervalles.

Réponse

A · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60
6.Théorie des graphes

Réponse: arête CE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. BD (6)
2. DE (12)
3. CE (15)
4. AC (14)

numéro de l’arête 3

CE

Réponse

arête CE

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