Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Le parcours en largeur (BFS) sur un graphe non pondéré trouve :

  1. AUn ordre topologique dans tous les graphes
  2. BL'arbre couvrant de poids minimal
  3. CLes plus courts chemins dans les graphes qui contiennent des poids d'arêtes négatifs
  4. DLes plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n/2) + n log n ?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n log n)
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire min stocké dans un tableau (indices commençant à 0), les enfants du nœud d'indice i se trouvent aux indices :

  1. A2i + 1 et 2i + 2
  2. Bi/2 et i/2 + 1
  3. Ci + 1 et i + 2
  4. D2i et 2i + 1
4.Structures de donnéesDifficile

Un objet est stocké comme clé dans une table de hachage (hash map), puis un champ utilisé par sa fonction de hachage est modifié. Quel est le résultat probable ?

  1. ALa recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
  2. BLa table déplace automatiquement la clé dans son nouveau compartiment
  3. CRien ne change, car le hachage d'une clé n'est calculé qu'une seule fois au démarrage du programme
  4. DLa table lève une erreur au moment où le champ change
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 2 sommets de degré 5, 2 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 33 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
91371021410121368ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 6 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ

Pourquoi c'est la réponse

BFS visite les nœuds par ordre de distance (en arêtes) depuis la source ; il trouve donc les plus courts chemins non pondérés en O(V + E).

Réponse

D · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Θ(n log² n)

Pourquoi c'est la réponse

Le niveau k effectue environ n log(n / 2ᵏ) de travail, et la somme sur les log n niveaux donne Θ(n log² n), le deuxième cas étendu du théorème maître.

Réponse

C · Θ(n log² n)
3.Structures de données

Réponse: A · 2i + 1 et 2i + 2

Pourquoi c'est la réponse

Pour des tableaux indexés à partir de 0, l'enfant gauche est en 2i + 1, l'enfant droit en 2i + 2 et le parent en ⌊(i − 1)/2⌋.

Réponse

A · 2i + 1 et 2i + 2
4.Structures de données

Réponse: A · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage

Pourquoi c'est la réponse

L'emplacement de la clé a été choisi à partir de son ancien hachage ; avec un nouveau hachage, les recherches examinent le mauvais compartiment, c'est pourquoi les clés devraient être immuables.

Réponse

A · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 18

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Réponse

L = 18

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: D

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 9, C: 13
2. B (9): G: 21
3. C (13): E: 23
4. G (21): D: 27
5. E (23): D: 25, F: 33
6. D (25)
7. F (33)

tour 6

D

Réponse

D

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