Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la multiplication de deux matrices n × n avec la triple boucle standard ?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment le problème du voyageur de commerce est-il classé ?

  1. ALa version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile
  2. BIl est dans P car l'algorithme de Dijkstra le résout en visitant chaque ville une seule fois
  3. CIl est indécidable
  4. DLa version décisionnelle est dans P mais la version d'optimisation est NP-complète
3.Structures de donnéesMoyen

Une file est implémentée avec deux piles : on empile sur une pile « in » et on dépile depuis une pile « out », remplie à partir de « in » lorsqu'elle est vide. Quel est le coût amorti par opération ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Structures de donnéesDifficile

Un filtre de Bloom peut répondre à la question « cet élément appartient-il à l'ensemble ? » avec :

  1. ADes faux positifs possibles mais aucun faux négatif
  2. BDes faux négatifs possibles mais aucun faux positif
  3. CDes réponses toujours exactes
  4. DDes réponses uniquement pour des nombres
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 4, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 34 × deg 44 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
183161014155ABCDE

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n³)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a n² entrées et chacune nécessite n multiplications, soit n³ opérations.

Réponse

C · O(n³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · La version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

« Existe-t-il une tournée de longueur au plus k ? » est NP-complet ; trouver la tournée la plus courte est NP-difficile, puisque c'est au moins aussi difficile.

Réponse

A · La version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: C · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque élément est empilé et dépilé au plus deux fois au total ; même si un remplissage peut coûter O(n), la moyenne sur une suite d'opérations est O(1).

Réponse

C · O(1)
4.Structures de données

Réponse: A · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif

Pourquoi c'est la réponse

Si l'un des bits d'un élément vaut 0, il est assurément absent ; si tous valent 1, il est probablement présent. Les filtres de Bloom sacrifient la précision au profit d'une très faible consommation de mémoire.

Réponse

A · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 13

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 33 = 2(L + 11) − 2
L = 13

Réponse

L = 13

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête BD

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. AC (3)
2. BE (5)
3. BD (10)
4. CE (14)

numéro de l’arête 3

BD

Réponse

arête BD

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