Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Combien de niveaux comporte la récursion du tri fusion pour un tableau de n éléments ?

  1. AEnviron n
  2. BEnviron √n
  3. CEnviron n / 2
  4. DEnviron log₂ n
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment le problème du voyageur de commerce est-il classé ?

  1. ALa version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile
  2. BLa version décisionnelle est dans P mais la version d'optimisation est NP-complète
  3. CIl est indécidable
  4. DIl est dans P car l'algorithme de Dijkstra le résout en visitant chaque ville une seule fois
3.Structures de donnéesMoyen

Une application a besoin de recherches rapides, mais aussi de lister les clés dans l'ordre trié et de répondre à des requêtes par intervalle. Quelle structure convient le mieux ?

  1. AUne pile
  2. BUn arbre binaire de recherche équilibré
  3. CUne table de hachage
  4. DUne liste chaînée non triée
4.Structures de donnéesDifficile

La suppression d'un nœud ayant deux enfants dans un arbre binaire de recherche se fait généralement en :

  1. AL'échangeant avec la racine
  2. BReconstruisant de zéro le sous-arbre situé en dessous et en réinsérant toutes les clés qu'il contenait
  3. CSupprimant tout le sous-arbre
  4. DLe remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
122317201815ABCDE

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Environ log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Passer de n à 1 par divisions successives par deux prend environ log₂ n niveaux, et chaque niveau effectue un travail de fusion en O(n), d'où O(n log n).

Réponse

D · Environ log₂ n
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · La version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

« Existe-t-il une tournée de longueur au plus k ? » est NP-complet ; trouver la tournée la plus courte est NP-difficile, puisque c'est au moins aussi difficile.

Réponse

A · La version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: B · Un arbre binaire de recherche équilibré

Pourquoi c'est la réponse

Un BST équilibré offre des recherches en O(log n) et garde les clés ordonnées, ce qui facilite le parcours infixe et les requêtes par intervalle ; une table de hachage disperse les clés.

Réponse

B · Un arbre binaire de recherche équilibré
4.Structures de données

Réponse: D · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud

Pourquoi c'est la réponse

Le successeur infixe a au plus un enfant, il peut donc être facilement supprimé après avoir copié sa clé dans le nœud à supprimer.

Réponse

D · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 17

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17

Réponse

L = 17

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 37

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

AC (2): prise
BC (3): prise
AB (12): sautée, ferme un cycle
BE (15): prise
BD (17): prise

Poids total

W = 2 + 3 + 15 + 17 = 37

Réponse

W = 37

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