Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme trouve les plus courts chemins depuis une source dans un graphe dont les poids des arêtes sont positifs ou nuls ?

  1. ALe parcours en profondeur (DFS)
  2. BBellman-Ford est nécessaire dans tous les cas
  3. CL'algorithme de Dijkstra
  4. DL'algorithme de Kruskal
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle borne est correcte pour log(n!) ?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours postfixe ?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les arbres B (B-trees) sont-ils utilisés dans les bases de données et les systèmes de fichiers ?

  1. AIls utilisent moins de mémoire que n'importe quel tableau, si bien que tout l'index tient toujours en mémoire centrale
  2. BLeur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
  3. CIls stockent les données sans les trier
  4. DIls n'ont pas besoin de rééquilibrage
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 11 sommets et 11 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 11|E| = 11
k =
6.Théorie des graphesDifficile
131016317194ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet C. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Ck = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · L'algorithme de Dijkstra

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Dijkstra fonctionne avec des poids positifs ou nuls ; Bellman-Ford gère les poids négatifs ; Kruskal construit des arbres couvrants de poids minimal.

Réponse

C · L'algorithme de Dijkstra
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

log(n!) ≤ n log n, et les n / 2 plus grands facteurs donnent log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) ; c'est pourquoi le tri par comparaisons nécessite Ω(n log n).

Réponse

D · Θ(n log n)
3.Structures de données

Réponse: A · 4 5 2 3 1

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours postfixe traite 4 et 5 avant 2, puis 3, et enfin la racine 1.

Réponse

A · 4 5 2 3 1
4.Structures de données

Réponse: B · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes

Pourquoi c'est la réponse

Les arbres B stockent de nombreuses clés par nœud, donc la hauteur est faible et peu de lectures de blocs sont nécessaires par recherche ; les arbres B+ relient en plus les feuilles pour les parcours d'intervalles.

Réponse

B · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 1

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

11 − 1 = 10

Arêtes à retirer

k = 11 − 10 = 1

Réponse

k = 1
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BD

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. AC (10)
2. AB (13)
3. BD (3)
4. BE (4)

numéro de l’arête 3

BD

Réponse

arête BD

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