Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Est-il correct de dire qu'un algorithme en O(n²) est aussi en O(n³) ?

  1. AOui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
  2. BNon, car le grand O doit toujours donner le taux de croissance exact de la fonction
  3. CNon, car n³ est plus petit que n² pour n grand
  4. DOui, mais seulement si n est inférieur à 100
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour (j = i ; j ≤ n ; j = j + i) faire un travail O(1) ?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(n), où n est le nombre de mots
  2. BO(L × n)
  3. CO(log n), où n est le nombre de mots
  4. DO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle garantie les règles des arbres rouge-noir donnent-elles sur la hauteur d'un arbre à n clés ?

  1. ALa hauteur vaut exactement log2 n
  2. BLa hauteur est au plus log2 n + 1
  3. CLa hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
  4. DLa hauteur est au plus n / 2
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
131113418127ABCDEF

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet B. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2.

départ : Bk = 2
  1. 1arête AB
  2. 2arête BC
  3. 3arête BD
  4. 4arête CE
  5. 5arête DE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

Pourquoi c'est la réponse

Le grand O est une borne supérieure : l'affirmation est vraie mais pas serrée ; Θ(n²) indique le taux de croissance exact.

Réponse

A · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le total vaut n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, et le nombre harmonique Hn est Θ(log n).

Réponse

D · O(n log n)
3.Structures de données

Réponse: D · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

D · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: C · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque chemin contient le même nombre de nœuds noirs et deux nœuds rouges ne peuvent pas être adjacents, donc le plus long chemin fait au plus le double du plus court, ce qui donne une hauteur en O(log n).

Réponse

C · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: arête CE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. BC (1)
2. CE (3)
3. DE (4)
4. EF (12)
5. AB (13)

numéro de l’arête 2

CE

Réponse

arête CE

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