Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour j = 1 à i : faire un travail O(1) ?

AO(n log n)
BO(n³)
CO(n²)
DO(n)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle affirmation concernant P et NP est correcte ?

ALes solutions des problèmes NP ne peuvent pas être vérifiées rapidement
BTout problème de P appartient aussi à NP
CNP signifie « non polynomial »
DIl a été démontré que P ≠ NP

3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire min stocké dans un tableau (indices commençant à 0), les enfants du nœud d'indice i se trouvent aux indices :

Ai/2 et i/2 + 1
B2i + 1 et 2i + 2
C2i et 2i + 1
Di + 1 et i + 2

4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le temps d'exécution d'un parcours en largeur sur un graphe à V sommets stocké sous forme de matrice d'adjacence ?

AO(V)
BO(V²)
CO(V + E)
DO(E log V)

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₆ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₆

H =

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Le corps intérieur s'exécute n(n + 1) / 2 fois au total, ce qui reste quadratique.

Réponse

C · O(n²)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Tout problème de P appartient aussi à NP

Pourquoi c'est la réponse

P ⊆ NP : si vous pouvez résoudre un problème rapidement, vous pouvez vérifier une solution rapidement. La question P = NP reste ouverte.

Réponse

B · Tout problème de P appartient aussi à NP

3.Structures de données

Réponse: B · 2i + 1 et 2i + 2

Pourquoi c'est la réponse

Pour des tableaux indexés à partir de 0, l'enfant gauche est en 2i + 1, l'enfant droit en 2i + 2 et le parent en ⌊(i − 1)/2⌋.

Réponse

B · 2i + 1 et 2i + 2

4.Structures de données

Réponse: B · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V sommets parcourt une ligne de V cases, ce qui donne O(V²) ; avec des listes d'adjacence, le BFS est en O(V + E).

Réponse

B · O(V²)

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60

6.Théorie des graphes

Réponse: F

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 1, C: 9

2. B (1): C: 4, D: 14, E: 7

3. C (4)

4. E (7): F: 13

5. F (13)

6. D (14)

tour 5

Réponse

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