Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi de nombreuses routines de tri des bibliothèques passent-elles au tri par insertion pour les très petits sous-tableaux ?

  1. ALes algorithmes récursifs ne peuvent pas traiter les tableaux de moins de 10 éléments
  2. BLe tri par insertion utilise moins de mémoire que tout autre algorithme de tri sur les grandes entrées
  3. CLe tri par insertion est en O(n log n) dans le pire cas
  4. DLe tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la différence entre un problème indécidable et un problème intraitable ?

  1. AUn problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
  2. BLes problèmes indécidables sont dans NP, tandis que les problèmes intraitables sont dans P
  3. CLes problèmes intraitables ne peuvent être résolus par aucun algorithme, tandis que les indécidables demandent seulement un temps exponentiel
  4. DLes deux signifient que le problème n'a aucun algorithme
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une matrice d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets ?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les bases de données utilisent-elles souvent des arbres B+ plutôt que de simples B-arbres pour leurs index ?

  1. ALes arbres B+ utilisent des nœuds internes binaires, ce qui réduit le nombre de lectures sur disque
  2. BTous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
  3. CLes arbres B+ n'ont pas besoin d'être équilibrés
  4. DLes arbres B+ ne stockent les données que dans la racine
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K6 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K6
H =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches de longueur 2 vont de B à A ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées

Pourquoi c'est la réponse

Pour n petit, la simple boucle du tri par insertion bat le surcoût de récursion du tri rapide ou du tri fusion, bien qu'elle soit en O(n²).

Réponse

D · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

Pourquoi c'est la réponse

Le problème de l'arrêt n'a aucun algorithme ; un problème NP-difficile comme le TSP peut être résolu par force brute, simplement pas en temps polynomial connu.

Réponse

A · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
3.Structures de données

Réponse: C · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice d'adjacence stocke V × V entrées, ce qui est efficace pour les graphes denses ; les listes d'adjacence utilisent O(V + E), ce qui est préférable pour les graphes creux.

Réponse

C · O(V²)
4.Structures de données

Réponse: B · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces

Pourquoi c'est la réponse

Dans un arbre B+, les nœuds internes servent uniquement à guider la recherche et les feuilles sont chaînées dans l'ordre des clés ; une requête par intervalle trouve la première clé puis parcourt les feuilles.

Réponse

B · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Voisins communs

(M²)BA = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·0 = 1

Réponse

N = 1

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