Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la multiplication de deux matrices n × n avec la triple boucle standard ?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n² log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Prendre les deux extrémités de chaque arête d'un couplage maximal donne une couverture par sommets. Quelle est la qualité de cette couverture ?

  1. AToujours une couverture par sommets minimale
  2. BAu plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
  3. CDe qualité inconnue par rapport à l'optimum
  4. DAu plus log n fois le minimum
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n), où n est le nombre de mots
  3. CO(n), où n est le nombre de mots
  4. DO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de donnéesDifficile

Un filtre de Bloom peut répondre à la question « cet élément appartient-il à l'ensemble ? » avec :

  1. ADes faux négatifs possibles mais aucun faux positif
  2. BDes réponses toujours exactes
  3. CDes réponses uniquement pour des nombres
  4. DDes faux positifs possibles mais aucun faux négatif
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 12 sommets et 23 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 12|E| = 23
k =
6.Théorie des graphesDifficile
81213112811851311ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n³)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a n² entrées et chacune nécessite n multiplications, soit n³ opérations.

Réponse

B · O(n³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

Pourquoi c'est la réponse

Les arêtes du couplage n'ont aucun sommet en commun : l'optimum nécessite donc au moins un sommet par arête, tandis que cette méthode en prend deux, d'où une 2-approximation.

Réponse

B · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de données

Réponse: D · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

D · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: D · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif

Pourquoi c'est la réponse

Si l'un des bits d'un élément vaut 0, il est assurément absent ; si tous valent 1, il est probablement présent. Les filtres de Bloom sacrifient la précision au profit d'une très faible consommation de mémoire.

Réponse

D · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

12 − 1 = 11

Arêtes à retirer

k = 23 − 11 = 12

Réponse

k = 12
6.Théorie des graphes

Réponse: D

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 8, C: 12
2. B (8): D: 9, G: 16
3. D (9): E: 17, F: 10
4. F (10): E: 11
5. E (11)
6. C (12)
7. G (16)

tour 3

D

Réponse

D

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