Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel espace de pile utilise une fonction factorielle récursive simple fact(n) = n × fact(n − 1) ?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

La multiplication de Karatsuba vérifie T(n) = 3T(n/2) + O(n). Quelle en est la solution ?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
3.Structures de donnéesMoyen

Comment trouve-t-on la clé minimale dans un arbre binaire de recherche ?

  1. AOn visite toutes les feuilles et on les compare
  2. BOn suit les enfants droits depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
  3. COn suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
  4. DOn regarde uniquement la racine
4.Structures de donnéesDifficile

En quoi un arbre radix (trie compressé) améliore-t-il un trie simple ?

  1. AIl fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne
  2. BIl ne garde que la première lettre de chaque mot
  3. CIl trie les enfants de chaque nœud par fréquence
  4. DIl stocke chaque mot dans une table de hachage à la racine au lieu de nœuds distincts
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
179851116710ABCDEF

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet B. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4.

départ : Bk = 4
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête CE
  5. 5arête DE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La récursion atteint une profondeur de n appels avant tout retour, et chaque appel nécessite un cadre de pile : elle utilise donc un espace O(n).

Réponse

A · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585

Pourquoi c'est la réponse

Comme log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, les feuilles dominent d'après le théorème maître, ce qui bat la méthode scolaire en O(n²).

Réponse

D · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
3.Structures de données

Réponse: C · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche n'a aucune clé plus petite dans l'arbre, c'est donc le minimum ; le coût est proportionnel à la hauteur.

Réponse

C · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
4.Structures de données

Réponse: A · Il fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne

Pourquoi c'est la réponse

Fusionner les chemins sans ramification réduit le nombre de nœuds et la mémoire utilisée tout en conservant la recherche par préfixe.

Réponse

A · Il fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: arête AC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. BC (8)
2. CE (5)
3. EF (7)
4. AC (9)
5. DE (11)

numéro de l’arête 4

AC

Réponse

arête AC

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