Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que signifie qu'un problème possède une sous-structure optimale ?

  1. ALe problème a exactement une solution optimale, que partagent tous les sous-problèmes
  2. BLe problème peut être résolu en temps constant
  3. CTous les sous-problèmes ont la même taille
  4. DUne solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Lequel de ces problèmes de satisfiabilité est connu pour être résoluble en temps polynomial ?

  1. A3-SAT, où chaque clause a exactement trois littéraux
  2. B2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux
  3. CSAT général sur des formules en forme normale conjonctive
  4. DLa satisfiabilité de circuits
3.Structures de donnéesMoyen

Un parcours infixe (in-order) d'un arbre binaire de recherche visite les clés dans :

  1. AL'ordre d'insertion
  2. BL'ordre croissant
  3. CToujours l'ordre décroissant
  4. DL'ordre par niveaux
4.Structures de donnéesDifficile

Un objet est stocké comme clé dans une table de hachage (hash map), puis un champ utilisé par sa fonction de hachage est modifié. Quel est le résultat probable ?

  1. ALa table déplace automatiquement la clé dans son nouveau compartiment
  2. BLa recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
  3. CRien ne change, car le hachage d'une clé n'est calculé qu'une seule fois au démarrage du programme
  4. DLa table lève une erreur au moment où le champ change
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 12 sommets et 13 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 12|E| = 13
k =
6.Théorie des graphesDifficile
621879201416ABCDEF

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet F. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 5.

départ : Fk = 5
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête DF
  8. 8arête EF

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes

Pourquoi c'est la réponse

La sous-structure optimale est nécessaire pour que les algorithmes gloutons comme la programmation dynamique produisent des réponses correctes.

Réponse

D · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · 2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux

Pourquoi c'est la réponse

2-SAT est dans P (temps linéaire via les composantes fortement connexes), tandis que 3-SAT est NP-complet.

Réponse

B · 2-SAT, où chaque clause a au plus deux littéraux
3.Structures de données

Réponse: B · L'ordre croissant

Pourquoi c'est la réponse

Visiter le sous-arbre gauche, puis le nœud, puis le sous-arbre droit fournit les clés du BST dans l'ordre trié.

Réponse

B · L'ordre croissant
4.Structures de données

Réponse: B · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage

Pourquoi c'est la réponse

L'emplacement de la clé a été choisi à partir de son ancien hachage ; avec un nouveau hachage, les recherches examinent le mauvais compartiment, c'est pourquoi les clés devraient être immuables.

Réponse

B · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 2

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

12 − 1 = 11

Arêtes à retirer

k = 13 − 11 = 2

Réponse

k = 2
6.Théorie des graphes

Réponse: arête CE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. DF (14)
2. BD (7)
3. AB (6)
4. AC (2)
5. CE (9)

numéro de l’arête 5

CE

Réponse

arête CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms