Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Vous triez une fois un tableau de n éléments, puis répondez à k requêtes d'appartenance par recherche dichotomique. Quel est le coût total ?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Les plus courts chemins simples peuvent être trouvés en temps polynomial. Que sait-on de la recherche du plus long chemin simple entre deux sommets dans un graphe quelconque ?

  1. AC'est indécidable
  2. BOn peut le résoudre avec l'algorithme de Dijkstra en prenant l'opposé des poids
  3. CC'est toujours résoluble en O(V + E)
  4. DC'est NP-difficile
3.Structures de donnéesMoyen

Pourquoi un tas binaire peut-il être stocké dans un tableau sans aucun pointeur ?

  1. AToutes les clés d'un tas sont égales
  2. BC'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples
  3. CLes tableaux maintiennent automatiquement les clés triées, donc aucun pointeur n'est nécessaire
  4. DLes tas ne contiennent jamais plus de 100 éléments
4.Structures de donnéesDifficile

Quel problème du sondage linéaire le double hachage réduit-il principalement ?

  1. ALe besoin d'une fonction de hachage
  2. BLe regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
  3. CLe besoin de stocker les clés dans la table
  4. DLe coût en O(n) de la lecture de la valeur d'une clé
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
14121410131515715ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n log n + k log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le tri coûte O(n log n) et chaque requête O(log n) ; cela bat k parcours linéaires (O(nk)) quand k est grand.

Réponse

D · O(n log n + k log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · C'est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

Un plus long chemin simple de longueur V − 1 est un chemin hamiltonien, problème NP-complet ; sur les graphes orientés acycliques, il est cependant résoluble en temps linéaire.

Réponse

D · C'est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: B · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples

Pourquoi c'est la réponse

La complétude signifie qu'il n'y a pas de trous, donc les enfants de l'indice i sont toujours en 2i + 1 et 2i + 2.

Réponse

B · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples
4.Structures de données

Réponse: B · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées

Pourquoi c'est la réponse

Le sondage linéaire avance d'un pas de 1, donc les suites occupées grossissent et fusionnent ; le double hachage utilise un second hachage pour la taille du pas, si bien que des clés différentes sondent des séquences différentes.

Réponse

B · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 23

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 51 = 2(L + 15) − 2
L = 23

Réponse

L = 23

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: D

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 14
2. B (14): C: 26, D: 28, G: 29
3. C (26)
4. D (28): E: 38
5. G (29)
6. E (38): F: 51
7. F (51)

tour 4

D

Réponse

D

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