Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Comment l'algorithme de Prim construit-il un arbre couvrant de poids minimal ?

  1. AIl trie toutes les arêtes par poids et ajoute chacune d'elles sauf si elle formait un cycle dans la forêt
  2. BIl exécute un parcours en largeur et conserve l'arbre du BFS
  3. CIl fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
  4. DIl supprime l'arête la plus chère jusqu'à ce qu'il ne reste plus de cycle
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi une recherche dans une table de hachage est-elle en O(1) en moyenne mais en O(n) dans le pire cas ?

  1. ALes clés doivent d'abord être triées
  2. BL'accès aux tableaux est en O(n)
  3. CLes fonctions de hachage sont lentes
  4. DDe nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
3.Structures de donnéesMoyen

Que se passe-t-il lorsqu'une table de hachage est rehachée après que son facteur de charge a dépassé un seuil ?

  1. ALes clés existantes sont triées sur place
  2. BLes clés les plus anciennes sont supprimées pour faire de la place
  3. CUne table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
  4. DSeules les clés en collision sont déplacées dans une nouvelle liste de débordement à la fin de la table
4.Structures de donnéesDifficile

Dans une table de hachage à adressage ouvert, pourquoi la suppression se fait-elle souvent avec un marqueur « pierre tombale » (tombstone) ?

  1. AVider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
  2. BLes clés supprimées doivent être conservées pour toujours pour des raisons de sécurité, si bien que les emplacements ne peuvent jamais être réutilisés
  3. CCela rend la table triée
  4. DLes pierres tombales accélèrent le hachage
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
2181113613ABCDE

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Prim, avec une file de priorité des arêtes sortantes, s'exécute en O(E log V) avec un tas binaire.

Réponse

C · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment

Pourquoi c'est la réponse

Avec une bonne fonction de hachage et un facteur de charge adapté, les compartiments restent courts en moyenne ; un hachage malveillant ou médiocre peut placer toutes les clés dans un seul compartiment.

Réponse

D · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
3.Structures de données

Réponse: C · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

Pourquoi c'est la réponse

Comme l'indice est calculé modulo la taille de la table, toutes les clés doivent être rehachées dans la nouvelle table, plus grande ; en doublant la taille, le coût reste O(1) amorti.

Réponse

C · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
4.Structures de données

Réponse: A · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

Pourquoi c'est la réponse

Si un emplacement supprimé devenait vide, les recherches ultérieures pourraient s'arrêter trop tôt et manquer des clés placées plus loin dans la chaîne de sondage.

Réponse

A · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. DE (1)
2. AB (2)
3. BE (3)
4. CE (6)

numéro de l’arête 3

BE

Réponse

arête BE

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